Question

Помогите решить задачу. Желательно с подробным объяснением и рисунком. Стороны оснований и боковое ребро прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3. Диагональ параллелепипеда равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности этого параллелепипеда.

Answer 1

Вот что получилось у меня. Мне не нравятся дробные числа, возможно там где-то ошибка в вычислениях, я не нашла. Суть в чем: чтобы избавиться от мерзкого соотношения вводим икс. Затем с помощью данной нам диагонали выводим этот икс. Ну а дальше просто считаем боковую поверхность.

Answer 2

Давайте начнём с определения формулы для вычисления площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его боковых граней. Для прямоугольного параллелепипеда боковые грани имеют форму прямоугольников.

По условию задачи дано, что соотношение сторон оснований и бокового ребра параллелепипеда равно 1:2:3. Обозначим эти размеры как x, 2x и 3x соответственно.

Для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c верно следующее соотношение: \(c^2 = a^2 + b^2\).

Так как диагональ параллелепипеда — гипотенуза, то можем составить уравнение по теореме Пифагора для боковой грани, используя отношение сторон:

\(6^2 = x^2 + (2x)^2\)

Это уравнение позволяет нам найти значение x. Решим его:

\(36 = x^2 + 4x^2\)

\(5x^2 = 36\)

\(x^2 = \frac{36}{5}\)

\(x = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}\)

Теперь, когда мы нашли значение x, можем найти стороны параллелепипеда:

Стороны основания: - Длина: \(x = \frac{6\sqrt{5}}{5}\) - Ширина: \(2x = \frac{12\sqrt{5}}{5}\)

Боковое ребро: - Высота: \(3x = \frac{18\sqrt{5}}{5}\)

Теперь, найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда, которая равна сумме площадей всех боковых граней.

Площадь одной боковой грани параллелепипеда равна произведению длины на высоту. Так как у параллелепипеда шесть боковых граней, нам нужно умножить площадь одной боковой грани на 4 (так как две пары граней имеют одинаковую площадь):

Площадь одной боковой грани: \(S_{\text{грани}} = \text{Длина} \times \text{Высота}\) \(S_{\text{грани}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} \times \frac{18\sqrt{5}}{5}\) \(S_{\text{грани}} = \frac{6 \times 18 \times 5}{5 \times 5}\) \(S_{\text{грани}} = \frac{540}{25} = 21.6\)

Теперь умножим площадь одной боковой грани на 4, чтобы найти общую площадь боковой поверхности:

\(S_{\text{бок}} = 4 \times S_{\text{грани}} = 4 \times 21.6 = 86.4 \, \text{см}^2\)

Итак, площадь боковой поверхности этого параллелепипеда равна \(86.4 \, \text{см}^2\).