Question

В прямокутному трикутнику гострі кути відносяться як 1:2. Більший катет дорівнює 4√3. Знайти радіус вписаного кола.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Больший катет равен 4 √ 3. Найти радиус вписанной окружности.
Обозначим стороны прямоугольного треугольника как катеты а =4корень(3), b и гипотенуза с
Пусть меньший острый угол равен х, тогда второй острый угол равен 2х
Запишем уравнение и найдем углы
                        х+2х+90 =180
                        3х=90
                        х=30 градусов
Второй острый угол равен 2х=2*30=60 градусов
Найдем второй меньший катет(он лежит напротив меньшего острого угла)
            b=a*tg30 = 4корень(3)*(1/корень(3))=4
Гипотенузу с определим по теореме Пифагора
                с=корень(а2+b^2)=корень((4корень(3))^2+4^2)=8
Радиус вписаной окружности определим по формуле
R=(a+b-c)/2=(4корень(3)+4-8)/2=2корень(2)-2 =2(корень(2)-1)=0,828

в прямокутному трикутнику гострі кути відносяться як 1:2. Більший катет дорівнює 4 √ 3. Знайти радіус вписаного кола.
Позначимо сторони прямокутного трикутника як катети а = 4корень (3), b і гіпотенуза с.
Нехай менший гострий кут дорівнює х, тоді другий гострий кут дорівнює 2х
Запишемо рівняння і знайдемо кути
                        х +2 х +90 = 180
                        3х = 90
                        х = 30 градусів
Другий гострий кут дорівнює
2х = 2 * 30 = 60 градусів
Знайдемо другий менший катет (він лежить навпроти меншого гострого кута)             b = a * tg30 = 4корень (3) * (1/корень (3)) = 4
Гіпотенузу c визначимо по теоремі Піфагора
                 c = корінь (А2 + b ^ 2) = корінь ((4корень (3)) ^ 2 +4 ^ 2) = 8
Радіус вписаного кола визначимо за формулою
R = (a + bc) / 2 = (4корень (3) +4-8) / 2 = 2корень (2) -2 = 2 (корінь (2) -1) = 0,828

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спочатку знайдемо величини гострих кутів прямокутного трикутника. За умовою, відношення гострих кутів становить 1:2. Нехай перший кут має величину x градусів, тоді другий кут має величину 2x градусів.

Загальна сума кутів в прямокутному трикутнику дорівнює 180 градусів, тому ми можемо записати рівняння:

x + 2x + 90 = 180

Розв'язавши це рівняння, отримаємо:

3x + 90 = 180

3x = 180 - 90

3x = 90

x = 30

Таким чином, перший кут має величину 30 градусів, а другий кут має величину 2 * 30 = 60 градусів.

Знайдемо довжину гіпотенузи

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Ми знаємо, що один з катетів дорівнює 4√3. Позначимо другий катет як а.

Тоді ми можемо записати рівняння:

(4√3)^2 + a^2 = гіпотенуза^2

48 + a^2 = гіпотенуза^2

Так як прямокутний трикутник, то гіпотенуза дорівнює:

гіпотенуза = a * √3

Підставивши це в рівняння отримаємо:

48 + a^2 = (a * √3)^2

48 + a^2 = 3a^2

2a^2 = 48

a^2 = 24

a = √24 = 2√6

Таким чином, другий катет має довжину 2√6.

Знайдемо площу прямокутного трикутника

Площа прямокутного трикутника може бути обчислена за формулою:

Площа = (перший катет * другий катет) / 2

Підставимо відповідні значення:

Площа = (4√3 * 2√6) / 2

Площа = 8√18 / 2

Площа = 4√18

Знайдемо радіус вписаного кола

Радіус вписаного кола прямокутного трикутника може бути обчислений за формулою:

Радіус = Площа / Півпериметр

Півпериметр можна обчислити, додавши довжини всіх сторін трикутника і поділивши на 2. В нашому випадку, прямокутний трикутник має два катети і гіпотенузу, тому півпериметр можна обчислити за формулою:

Півпериметр = (перший катет + другий катет + гіпотенуза) / 2

Підставимо відповідні значення:

Півпериметр = (4√3 + 2√6 + 4√3) / 2

Півпериметр = (8√3 + 2√6) / 2

Півпериметр = 4√3 + √6

Тепер можемо обчислити радіус вписаного кола:

Радіус = 4√18 / (4√3 + √6)

Радіус = (√18 * 4) / (√3 + √6)

Радіус = (3√2 * 4) / (√3 + √6)

Радіус = (12√2) / (√3 + √6)

Отже, радіус вписаного кола прямокутного трикутника з вказаними параметрами дорівнює (12√2) / (√3 + √6).