Question

Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны 3 √2,√13 и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, причём от­ре­зок KC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если ∠KAC>90°

Answer 1

Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны 3 √2,√13 и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, причём от­ре­зок KС пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му.
Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если ∠KAC>90°
---------
 Треугольник АВС тупоугольный (АС²>АВ²+ВС²); против большего угла лежит большая сторона.  
АС-большая сторона.⇒∠ В>90º.  
Т.к. по условию ∠ КАС>90º, а ∆ АКС ~ ∆ АВС, ∠КАС=∠В.  
Тогда, поскольку треугольники подобны,  
∠ КАС >90º, КС -  большая сторона ∆ АКС.   
∠АКС=∠ВСА  
По т.косинусов  
  АВ²=АС²+ВС² -2 АС*ВС*cos∠ACB ⇒  
  cos∠ACB=(АВ²-АС²-ВС²)/( -2АС*ВС)  
 cos∠ACB=6/(-6√2)=1/√2=(√2)/2⇒  
  cos∠АКС=(√2)/2 - это косинус угла=45º

Answer 2

Решение:

Дано, что стороны треугольника ABC равны 3√2, √13 и 1 соответственно. Пусть точка K находится вне треугольника ABC, и отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Также известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному треугольнику. Нам нужно найти косинус угла AKC, если ∠KAC > 90°.

Для начала, давайте рассмотрим подобие треугольников. Если треугольник KAC подобен треугольнику ABC, то отношение длин соответствующих сторон будет одинаковым. То есть:

AC / BC = KA / BA

Подставим известные значения:

3√2 / 1 = KA / √13

Перемножим обе части уравнения:

(3√2)(√13) = KA

Упростим выражение:

√6 * √13 = KA

√(6 * 13) = KA

√78 = KA

Теперь, чтобы найти косинус угла AKC, нам понадобится знать значения сторон AK и KC.

Известно, что KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Это означает, что сторона AK будет состоять из двух отрезков: AB и BK.

Таким образом, AK = AB + BK.

Мы знаем, что сторона AB равна 1, поэтому нам остается найти значение стороны BK.

Для этого воспользуемся подобием треугольников KAC и ABC.

AC / BC = KA / BA

3√2 / 1 = KA / 1

3√2 = KA

Таким образом, KA = 3√2.

Из уравнения AK = AB + BK, получаем:

3√2 = 1 + BK

BK = 3√2 - 1

Теперь у нас есть значения сторон AK и KC.

Используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла AKC.

Вспомним, что косинус угла AKC равен отношению смежной стороны (KC) к гипотенузе (AK).

cos(AKC) = KC / AK

Подставим известные значения:

cos(AKC) = KC / 3√2

Мы знаем, что сторона KC равна 1, поэтому:

cos(AKC) = 1 / 3√2

Чтобы упростить это выражение, умножим и разделим числитель и знаменатель на √2:

cos(AKC) = (1 / √2) / (3 * √2 / √2)

cos(AKC) = 1 / (3 * √2)

Теперь мы получили значение косинуса угла AKC.

Ответ: Косинус угла AKC равен 1 / (3 * √2).

Answer 3

Задача:

Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC > 90°.

Решение:

Дано, что стороны треугольника ABC равны 3√2, √13 и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причем отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Также известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному.

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать понятие подобия треугольников и формулу косинуса.

Шаг 1: Найдем отношение сторон треугольников ABC и KAC.

Поскольку треугольники ABC и KAC подобны, отношение сторон будет одинаковое. Обозначим это отношение как k.

k = AB / KA = BC / KC = AC / CA

Шаг 2: Найдем значения сторон треугольника KAC.

Из отношения сторон, мы можем найти значения сторон треугольника KAC:

KA = AB / k KC = BC / k AC = CA / k

Шаг 3: Найдем косинус угла AKC, используя формулу косинуса.

cos(AKC) = (KA^2 + KC^2 - AC^2) / (2 * KA * KC)

Шаг 4: Подставим значения сторон в формулу и рассчитаем косинус угла AKC.

cos(AKC) = (KA^2 + KC^2 - AC^2) / (2 * KA * KC)

cos(AKC) = (AB^2 / k^2 + BC^2 / k^2 - AC^2 / k^2) / (2 * AB / k * BC / k)

cos(AKC) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)

Теперь мы можем вычислить косинус угла AKC, подставив значения сторон треугольника ABC.

cos(AKC) = (3√2)^2 + (√13)^2 - 1^2 / (2 * 3√2 * √13)

cos(AKC) = 18 + 13 - 1 / (6√26)

cos(AKC) = 30 / (6√26)

cos(AKC) = 5 / √26

Ответ: Косинус угла AKC равен 5 / √26.