Question

Даны точки k( 4; -1) , М ( 1; -1), N ( -2 ; 2). P ( -5 ; 2) . A)докажите равенство векторов KN= MP, Найти координаты вектора 0,5 KN+KM

Answer 1

$KN=\sqrt{(-2-4)^2+(2+1)^2}=\sqrt{45}\\ MP=\sqrt{(-5-1)^2+(2+1)^2}=\sqrt{45}\\ KN=MP$

$0.5KN+KM=0.5(-6;3)+(-3;0)=(-3;3)+(-3;0)=(-6;3)$

Answer 2

Для доказательства равенства векторов \( \overrightarrow{KN} \) и \( \overrightarrow{MP} \) нужно убедиться, что соответствующие координаты этих векторов совпадают.

Вектор \( \overrightarrow{KN} \) определяется как разность координат точек \( N \) и \( K \):

\[ \overrightarrow{KN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{K} \]

С учетом данных координат:

\[ \overrightarrow{KN} = (x_N - x_K, y_N - y_K) \] \[ \overrightarrow{KN} = ((-2) - 4, 2 - (-1)) \] \[ \overrightarrow{KN} = (-6, 3) \]

Теперь вычислим вектор \( \overrightarrow{MP} \) по аналогии:

\[ \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{M} \]

\[ \overrightarrow{MP} = (x_P - x_M, y_P - y_M) \] \[ \overrightarrow{MP} = ((-5) - 1, 2 - (-1)) \] \[ \overrightarrow{MP} = (-6, 3) \]

Мы видим, что координаты векторов \( \overrightarrow{KN} \) и \( \overrightarrow{MP} \) совпадают: \((-6, 3) = (-6, 3)\). Таким образом, равенство векторов \( \overrightarrow{KN} \) и \( \overrightarrow{MP} \) доказано.

Теперь найдем координаты вектора \( 0.5 \overrightarrow{KN} + \overrightarrow{KM} \). Сначала умножим вектор \( \overrightarrow{KN} \) на \( 0.5 \):

\[ 0.5 \overrightarrow{KN} = 0.5 \cdot (-6, 3) = (-3, 1.5) \]

Теперь сложим полученный вектор с вектором \( \overrightarrow{KM} \), который также определяется как разность координат точек \( M \) и \( K \):

\[ \overrightarrow{KM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{K} \]

\[ \overrightarrow{KM} = (x_M - x_K, y_M - y_K) \] \[ \overrightarrow{KM} = (1 - 4, (-1) - (-1)) \] \[ \overrightarrow{KM} = (-3, 0) \]

Теперь сложим векторы \( 0.5 \overrightarrow{KN} \) и \( \overrightarrow{KM} \):

\[ 0.5 \overrightarrow{KN} + \overrightarrow{KM} = (-3, 1.5) + (-3, 0) \] \[ 0.5 \overrightarrow{KN} + \overrightarrow{KM} = (-6, 1.5) \]

Таким образом, координаты искомого вектора \( 0.5 \overrightarrow{KN} + \overrightarrow{KM} \) равны \((-6, 1.5)\).