Question

Докажите что если равны два центральных угла окружности то равны и соответствующие им дуги

Answer 1

Центральные углы опирающие на одну и туже дугу равны,и равны их дуги.

Answer 2

Пусть на окружности имеются два равных центральных угла, обозначим их α и β. Также обозначим соответствующие им дуги как a и b.

Для начала, рассмотрим определение центрального угла. Центральный угол - это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны - это радиусы окружности, исходящие из этой вершины. Все центральные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, имеют одинаковую меру.

Теперь, если у нас есть два равных центральных угла α и β, то их меры равны: α = β.

Докажем, что соответствующие дуги a и b также равны.

Предположим, что это не так и дуги a и b не равны. Тогда одна дуга будет больше другой. Без ограничения общности, предположим, что дуга a больше дуги b. Тогда мы можем взять точку на дуге a, которая находится на равном расстоянии от начала и конца дуги a, и обозначим ее точкой C. Затем мы можем соединить точку C с центром окружности O и провести радиус OC.

Так как угол α равен углу β, то радиус OC также будет равен радиусу OB, где точка B находится на дуге b. Но это означает, что точка B также будет находиться на равном расстоянии от начала и конца дуги b, что противоречит предположению, что дуга a больше дуги b.

Таким образом, мы приходим к противоречию, и предположение о неравенстве дуг a и b неверно. Значит, дуги a и b должны быть равны.

Таким образом, если равны два центральных угла окружности, то равны и соответствующие им дуги.