Question

Решите, пожалуйста :( В трапеции ABCD угол D=углу ACB. AC-биссектриса угла A. Определить диагональ AC, если средняя линия трапеции равна 8, а основания относятся как 3:5. И добавьте чертёж, плиз :)

Answer 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований: (АД+ВС)/2=8, АД+ВС=16
По условию ВС/АД=3/5, ВС=3АД/5=0,6АД
Подставляем АД+0,6АД=16
АД=10
ВС=0,6*10=6
При пересечении двух параллельных прямых АД и ВС секущей АС накрест лежащие  углы равны <ACB=<CAД.
А т.к. по условию <АДС=<АСВ и <ВАС=<CAД, то значит, что ΔАВС - равнобедренный (АВ=ВС=6).
 Из равенства углов следует, что ΔАВС и ΔАСД подобны по 1 признаку:
АС/АД=АВ/АС
АС/10=6/АС
АС²=60
АС=√60=2√15

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла.

Угол D равен углу ACB, значит, угол BAC также равен углу ACB. Так как AC является биссектрисой угла BAC, то она делит угол BAC пополам.

Пусть точка E - точка пересечения биссектрисы AC с основанием AD. Тогда угол DAE равен углу EAC, то есть углу BAC/2.

Так как угол BAC/2 равен углу DAE, то треугольник DAE - равнобедренный, значит, DE=DA.

Обозначим основание AD как a, основание BC как b. Так как основания относятся как 3:5, то a/b = 3/5.

Пусть точка M - середина основания BC. Тогда BM=MC=b/2.

Так как средняя линия трапеции равна 8, то AM=8.

Так как AM=MD+DA, то 8=MD+DE.

Так как DE=DA, то 8=MD+DA=MD+DE=MD+MD=2MD.

Отсюда получаем, что MD=4.

Так как BM=MC=b/2, то b/2=4, откуда b=8.

Так как a/b=3/5, то a/8=3/5, откуда a=24/5.

Таким образом, длина диагонали AC равна AD+DC=a+b=24/5+8=64/5.

Чертеж:

A _________ B / \ / \ / \ / \ D ----------------- C