Question

Сформулируйте и докажите теорему об углах выпуклого многоугольника

Answer 1

Сумма УГЛОВ n-угольника равна 180°(n − 2)

Answer 2

Теорема об углах выпуклого многоугольника утверждает, что сумма всех внутренних углов выпуклого многоугольника равна (n-2) * 180 градусов, где n - количество вершин многоугольника.

Доказательство этой теоремы можно провести следующим образом:

1. Рассмотрим произвольный выпуклый многоугольник с n вершинами. Проведем все диагонали многоугольника, соединяющие вершины с вершинами, не являющимися соседними.

2. Каждая такая диагональ делит многоугольник на два новых многоугольника, один из которых имеет на одну вершину меньше, чем исходный многоугольник.

3. Продолжаем проводить диагонали до тех пор, пока не получим треугольник.

4. Количество проведенных диагоналей будет равно (n-3), так как каждая диагональ уменьшает количество вершин многоугольника на 1.

5. Из каждой вершины треугольника можно провести только одну диагональ, которая не пересекает других диагоналей.

6. Таким образом, в треугольнике будет (n-3) диагоналей, и каждая диагональ образует один внутренний угол треугольника.

7. Сумма всех внутренних углов треугольника равна 180 градусов.

8. Сумма всех внутренних углов в исходном многоугольнике равна сумме углов в каждом из его треугольников.

9. Таким образом, сумма всех внутренних углов исходного многоугольника равна (n-3) * 180 градусов.

10. Добавим к полученной сумме 180 градусов (углы последнего треугольника, в котором проведены все диагонали), получим (n-2) * 180 градусов.

Таким образом, доказано, что сумма всех внутренних углов выпуклого многоугольника равна (n-2) * 180 градусов.