Question

Докажите что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, паралельна основанию.

Answer 1

Внешний угол  при вершине равнобедренного треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т.е. сумме двух равных углов при основании. А биссектриса разбивает внешний угол на 2 равных угла. И получается, что биссектриса с основанием и секущая, как одна из сторон треугольника образуют, равные соответственные углы. А если при пересечении двух прямых третьей окажется, что какие-нибудь соответственные углы равны, то такие прямые параллельные. Значит, биссектриса параллельна основанию равнобедренного треугольника. И это действительно для любых равнобедренных треугольников. 

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим этот вопрос более подробно.

Предположим, у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и пусть BD - биссектриса внешнего угла BAC, продолженная за пределы треугольника (D находится на продолжении BC).

Для начала заметим, что в равнобедренном треугольнике биссектриса внутреннего угла также является медианой и высотой, поскольку все эти линии совпадают. Однако биссектриса внешнего угла не является ни медианой, ни высотой.

Теперь докажем, что BD || AC.

Для начала давайте рассмотрим угол BAC и угол BDC (дополнительный к BAC). Поскольку угол BAC и угол BDC оба являются дополнительными к углу ABC (они лежат на одной прямой), они равны. То есть ∠BAC = ∠BDC.

Теперь рассмотрим угол BCD. В треугольнике BCD внешний угол B равен сумме углов BCD и BDC (по теореме об углах треугольника). Но угол B равен углу A в равнобедренном треугольнике, поэтому BCD + BDC = B. Так как BDC = BAC, мы можем записать: BCD + BAC = B.

Таким образом, у нас есть два угла: BCD и BAC, которые равны. Значит, у нас есть два угла BCD и BAC, с соответственно параллельными сторонами BD и AC. Это подтверждает, что BD || AC.

Итак, биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.