Question

1)в остроугольном треугольнике АВС,угол А=78 градусов,ВD и СЕ высоты пересекающиеся в точке О.Найдите угол DOE.2)Окружность вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 18 и 50.Прямая проходящая через центр окружности и вершину трапеции отсекает от трапеции треугольник.Найдите отношение площади треугольника к площади трапеции.

Answer 1

треугольникАВС, уголА=78, ВД и СЕ-высоты, треугольник АСЕ прямоугольный, уголАСЕ=90-уголА=90-78=12, треугольник ДОС прямоугольный, уголДОС=90-уголАСЕ=90-12=78, уголДОЕ=180-уголДОС=180-78=102

трапеция АВСД, АВ=СД, уголА=уголД, уголВ=уголС, ВС=18, АД=50, центр О-пересечение биссектрис углов трапеции, ВМ-прямая проходящая через вершину , центр О на АД =биссектриса угла В, угол АВМ=уголМВС=1/2уголВ, уголМВС=уголАМВ как внутренние разносторонние=уголАВМ, треугольник АВМ равнобедренный, АВ=АМ,

в трапецию можно вписать окружность если сумма оснований=сумма боковых сторон, ВС+АД=АВ+СД, 18+50=2АВ, АВ=СД=34=АМ, проводим высоты ВН и СК на АД, НВСК-прямоугольник ВС=НК=18, треугольник АВН=треугольник КСД как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, АН=КД=(АД-НК)/2=(50-18)/2=16, треугольник АВН, ВН-высота трапеции и треугольника АВМ=корень(АВ в квадрате-АН в квадрате)=корень(1156-256)=30,

площадьАВСД=1/2*(ВС+АД)*ВН=1/2*(18+50)*30=1020

площадь АВМ=1/2АМ*ВН=1/2*34*30=510

площадьАВМ/площадьАВСД=510/1020=1/2

Answer 2

1) В остроугольном треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(78^\circ\). Пусть \(BD\) и \(CE\) - высоты, пересекающиеся в точке \(O\). Найдем угол \(DOE\).

Известно, что в остроугольном треугольнике высоты пересекаются в одной точке и образуют ортокентр. Углы противолежащие основаниям высот в остроугольном треугольнике равны \(90^\circ\). Таким образом, угол \(B\) и угол \(C\) равны по \(90^\circ - 78^\circ = 12^\circ\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ODE\). \(OD\) и \(OE\) являются высотами треугольника \(ABC\) (по свойству ортокентра), значит, они перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника \(ABC\).

Таким образом, угол \(DOE\) равен \(180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 12^\circ - 12^\circ = 156^\circ\).

2) Пусть \(ABCD\) - равнобедренная трапеция с основаниями \(AB = 18\) и \(CD = 50\). Окружность вписана в эту трапецию.

Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник.

Поскольку трапеция равнобедренная, допустим, что её высота равна \(h\). Так как основания трапеции равны, прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, делит высоту \(h\) на две равные части. Пусть это расстояние от вершины трапеции до центра окружности будет \(r\) (радиус окружности).

Таким образом, площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от трапеции, равна половине площади круга с радиусом \(r\), так как треугольник прямоугольный и его катеты равны \(r\) и \(\frac{h}{2}\):

Площадь треугольника: \(\frac{1}{2} \times r \times \frac{h}{2}\) Площадь трапеции: \(\frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h\)

Отношение площади треугольника к площади трапеции: \[ \frac{\frac{1}{2} \times r \times \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h} = \frac{r \times \frac{h}{2}}{(AB + CD) \times h} = \frac{r}{2 \times (AB + CD)} \]

Теперь остается выразить радиус \(r\) через данные о трапеции. Поскольку окружность вписана в трапецию, \(r\) равен расстоянию от центра окружности до боковой стороны трапеции. Это можно сделать с помощью теоремы Пифагора, разделив основание трапеции на две части по центру окружности:

\(r^2 + (\frac{50 - 18}{2})^2 = (\frac{50 + 18}{2})^2\)

Вычислив \(r\), мы можем подставить его обратно в формулу отношения площадей, чтобы получить ответ.