Question

Высота,опущенная к гипотенузе прямоугольного треугольника,делит ее на отрезки 9 см и 16 см.Найдите стороны треугольника?

Answer 1

Для решения нужно вспомнить. что:
 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Поэтому h²=9·16=144
h=12
Из треугольников. на которые высота поделила искходный треугольник, по теореме Пиагора найдем катеты:
1)9²+12²=225
√225=15
2)16²+12²=400
√400=20
Катеты равны 15см  и 20 см, 
гипотенуза 9+16=25 см
-------------------------------------------------
Можно применить для решения другую теорему.  
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между 
гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Найдем гипотенузу:
9+16=25 см
Пусть меньший катет будет х. 
Тогда его проекция - 9см:
х²= 9·25=225
х=15 см
Больший катет пусть будет у:
у²=25·16=400
у=20 см

Answer 2

Пусть стороны прямоугольного треугольника равны a, b и c, где c - гипотенуза. Тогда по теореме Пифагора имеем: c^2 = a^2 + b^2

Высота, опущенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Пусть h - высота, тогда по теореме Пифагора имеем: a^2 = h * 9 b^2 = h * 16

Таким образом, система уравнений будет выглядеть следующим образом: c^2 = 81h^2 + 144h^2 c^2 = 225h^2

Так как c - гипотенуза, то c = 15h

Подставим значение c в первое уравнение: (15h)^2 = 225h^2 225h^2 = 225h^2

Таким образом, данная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Значит, стороны прямоугольного треугольника могут быть любыми, при условии, что они удовлетворяют условию высоты, опущенной к гипотенузе.