Question

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=40 и CD=10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB=60∘ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Answer 1

Решение в приложенном рисунке
Надо бы проверить арифметику...

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать несколько геометрических свойств и формул. Давайте начнем с рассмотрения основных свойств вписанных и описанных окружностей в четырехугольниках.

Свойства вписанных и описанных окружностей в четырехугольниках

1. Вписанная окружность в четырехугольник касается каждой из его сторон. 2. Описанная окружность четырехугольника проходит через все его вершины.

Теперь давайте перейдем к решению задачи.

Решение

1. Выразим полупериметр четырехугольника ABCD через длины его сторон: Полупериметр P = (AB + BC + CD + DA) / 2 = (40 + BC + 10 + BC) / 2 = (50 + 2*BC) / 2 = 25 + BC

2. Рассмотрим треугольник ABK. Угол AKB = 60 градусов, значит, угол в центре окружности, опирающийся на дугу BK, также равен 60 градусов. Следовательно, угол ABK равен половине этой величины, то есть 30 градусов.

3. Рассмотрим треугольник BCK. Угол BCK также равен 30 градусов, так как он опирается на ту же дугу BK.

4. Используя тригонометрические свойства, мы можем выразить BC через радиус описанной окружности (R) и угол BCK: BC = 2 * R * sin(BCK)

5. Теперь мы можем выразить полупериметр P через радиус описанной окружности R: P = 25 + 2 * R * sin(BCK)

6. Поскольку ABCD - вписанный четырехугольник, то AB + CD = BC + AD. Это свойство вписанных четырехугольников.

7. Подставим известные значения AB и CD: 40 + 10 = 2 * R * sin(BCK)

8. Теперь мы можем найти радиус описанной окружности: R = (50 / (2 * sin(BCK)))

Таким образом, найден радиус описанной окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD.