Question

Меньшая сторона прямоугольника равна а, острый угол между его диагоналями - 60 градуссов. Найдите диаметр окружности описпной вокруг прямоугольника

Answer 1

АВСД - прямоугольник. О - точка пересечения диагоналей. АВ = а. Угол АОВ=60 гр.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали. Найдем АО.

Проведем ОК перпенд. АВ. АК = КВ = а/2 (т.к. тр. АОВ - равноб)

Тр. АОК - прямоуг. Угол АОК = 60/2 = 30 гр.

По св-ву прям. тр-ка с углом в 30 гр:

АО = 2*АК = а. Тогда диаметр описанной окр. равен 2а.

Ответ: 2а.

Answer 2

Для начала, построим прямоугольник и его диагонали:

  A__________B
  |          |
  |          |
  |          |
  |          |
  C__________D

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна a, а большая сторона равна b. Также, пусть точка O - центр описанной окружности, а точки E и F - точки пересечения диагоналей с окружностью:

      E
  A__________B
  |          |
  |    O     |
  |          |
  |          |
  C__________D
      F

Так как острый угол между диагоналями равен 60 градусов, то треугольник EOD - равносторонний. Значит, EO = OD = a.

Также, по свойству описанной окружности, отрезки AE, EB, CF и FD являются радиусами окружности и равны между собой. Обозначим их как r.

Теперь, рассмотрим прямоугольный треугольник AOE:

      E
  A__________B
  |          |
  |    O     |
  |          |
  |          |
  C__________D
      F

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику:

AO^2 + OE^2 = AE^2

Так как EO = a и AE = r, получаем:

a^2 + r^2 = r^2

Упрощая данное уравнение, получаем:

a^2 = 0

Так как a > 0, то данное уравнение невозможно. Значит, прямоугольник с заданными условиями не существует.

Следовательно, невозможно найти диаметр описанной окружности вокруг такого прямоугольника.