Question

В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 8:15. Найдите площадь этого треугольника, если площадь круга описанного около него равна 289π см²

Answer 1

Прямоугольный ΔАВС - катеты АВ:АС=8:15, откуда АС=15АВ/8.
Площадь описанной окружности  Sок=289π.
Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, значит радиус R=ВС/2.
Т.к. Sок=πR²
289π=π*BC²/4
ВС²=1156
По т.Пифагора: АВ²+АС²=ВС²
АВ²+(15АВ/8)²=1156
289АВ²/64=1156
АВ²=256
АВ=16
АС=15*16/8=30
Площадь треугольника  Sавс=АВ*АС/2=16*30/2=240

Answer 2

$\pi R^2=289 \pi$
$R^2=289$
$R=17$
так как около треугольника описана окружность, то центр окружности лежит на середине гипотенузы
 BC=2*R=34
пусть AB=8x
AC= 15x
по теореме Пифагора 
$64 x^{2} +225 x^{2} =1156$
$289 x^{2} =1156$
$x^{2} =4$
x=2 
AB=2*8=16
AC=2*15=30
S=1/2ab=1/2*16*30=240(см²)

Answer 3

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 8x и 15x, где x - некоторый множитель.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: (8x)² + (15x)² = гипотенуза² 64x² + 225x² = гипотенуза² 289x² = гипотенуза²

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: Площадь = (8x * 15x) / 2 Площадь = 60x²

Также, известно, что площадь круга равна 289π см². Формула площади круга: Площадь круга = π * радиус²

Так как круг описан около прямоугольного треугольника, гипотенуза треугольника является радиусом круга. Значит, 289π = π * гипотенуза² 289 = гипотенуза² 17 = гипотенуза

Теперь мы знаем, что гипотенуза равна 17 и можем найти x: 289x² = 17² 289x² = 289 x² = 1 x = 1

Подставим значение x в формулу площади прямоугольного треугольника: Площадь = 60 * 1² Площадь = 60 см²

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 60 см².