Question

В прямокутний трикутник вписано коло з радіусом 4 см. Точка дотику ділить гіпотенузу на відрізки, довжини яких відносяться як 10 : 3. Знайдіть сторони трикутника.

Answer 1

См. рисунок. Обозначим части гипотенузы как 3х  и 10х
Тогда задачу можно решать по крайней мере двумя способами.
1)через площади (меньше вычислений)
    с одной стороны S=$\frac{3x*4}{2}*2+ \frac{10x*4}{2}*2+4*4$
c другой S=(3x+4)*(10x+4)/2
решая это квадратное ур-ие получим х=2 (второй корень отрицательный, длина не может быть отрицательной)  Тогда гипотенуза будет 13*2=26, а катеты 3*2+4=10 и 10*2+4=24
2) по т. Пифагора    $(13x)^{2}= (3x+4)^{2}+ (10x+4)^{2}$
   в данном случае лень возводить в квадраты, но получаем то же самое..

Answer 2

Дано, що прямокутний трикутник має вписане коло з радіусом 4 см. Нехай точка дотику кола з гіпотенузою ділить гіпотенузу на відрізки, довжини яких відносяться як 10:3.

Позначимо сторони трикутника як a, b і c, де a і b - катети, а c - гіпотенуза.

Оскільки коло вписане в трикутник, то точка дотику кола з гіпотенузою є серединою гіпотенузи. За теоремою про серединну лінію, довжина кожного з відрізків, на які гіпотенуза ділиться,

Answer 3

Позначимо сторони прямокутного трикутника як a, b, c, де c - гіпотенуза.

За властивістю трикутника, сума довжин катетів дорівнює довжині гіпотенузи: a + b = c

За теоремою Піфагора, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи: a^2 + b^2 = c^2

Оскільки вписане коло має радіус 4 см, це означає, що радіус кола є відстанню від центру кола до точки дотику. За теоремою Піфагора, ця відстань є середньою пропорціональною між довжинами відрізків, на які точка дотику ділить гіпотенузу: a/10 = b/3

Зараз ми маємо систему рівнянь, яку можемо використати для знаходження сторін трикутника.

Знайдемо співвідношення між сторонами a і b: a/10 = b/3 a = (10/3)b

Підставимо це співвідношення в друге рівняння: (10/3)^2b^2 + b^2 = c^2 (100/9)b^2 + b^2 = c^2 (109/9)b^2 = c^2 b^2 = (9/109)c^2

Тепер підставимо це співвідношення в перше рівняння: (10/3)b + b = c (10/3 + 1)b = c (13/3)b = c

Ми знаємо, що радіус кола дорівнює 4 см, тому: c = 2r (13/3)b = 8 b = (3/13) * 8 b = 24/13

Тепер підставимо b у вираз a = (10/3)b: a = (10/3) * (24/13) a = 80/13

Таким чином, сторони прямокутного трикутника дорівнюють: a = 80/13 см b = 24/13 см c = 8 см