Question

Высота правильной треугольной пирамиды PTRS и сторона основания равны 9 и 12 соответственно. Найдите котангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Answer 1

PT=TR=PR=12 ,SO=9
PH=PT*sin60=12*√3/2=6√3
PO=2/3*PH=2/3*6√3=4√3
ctg<SPO=PO/SO=4√3/9

Answer 2

Для начала найдем высоту правильной треугольной пирамиды PTRS. Поскольку пирамида правильная, боковые грани треугольные и равнобедренные, а значит, высота будет перпендикулярна основанию и делит боковое ребро на две равные части. Таким образом, мы можем найти высоту, используя теорему Пифагора.

Давайте обозначим высоту пирамиды PTRS как h. Тогда, с учетом равенства сторон основания (12) и (9), получаем, что боковое ребро равно \(\sqrt{12^2 - \left(\dfrac{9}{2}\right)^2}\). Мы можем выразить это в виде:

\[ h = \sqrt{12^2 - \left(\dfrac{9}{2}\right)^2} \]

Теперь, чтобы найти котангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, мы можем воспользоваться соотношением между котангенсом и тангенсом угла:

\[ \cot(\theta) = \dfrac{1}{\tan(\theta)} \]

где \(\theta\) - это угол между боковым ребром и плоскостью основания. Тангенс угла \(\theta\) можно найти как отношение противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (боковому ребру).

\[ \tan(\theta) = \dfrac{h}{\dfrac{9}{2}} \]

Теперь, используя найденное значение \(\tan(\theta)\), мы можем найти котангенс угла \(\theta\).

Расчет котангенса угла:

\[ \cot(\theta) = \dfrac{1}{\tan(\theta)} = \dfrac{1}{\dfrac{h}{\dfrac{9}{2}}} = \dfrac{\dfrac{9}{2}}{h} \]

Таким образом, котангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен \(\dfrac{\dfrac{9}{2}}{h}\). Теперь остается только вычислить значение \(h\) по формуле, которую мы получили выше.