Question

В окружность вписаны квадрат и правильный треугольник. Плошадь квадрата равна Q. Найти сторону и площадь треугольника.

Answer 1

Сторона квадрата: $a=\sqrt Q$

 

Радиус описанной окружности: $R=\frac{a}{\sqrt2}=\frac{\sqrt Q}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{Q}{2}}$

 

Cторона треугольника: $x=\sqrt3\cdot R=\sqrt3\cdot {\sqrt{\frac{Q}{2}}}=\sqrt{\frac{3Q}{2}}$

 

Площадь треугольника: $S=\frac{1}{2}a^2Sin60^0=\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{3Q}{2}})^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{3Q\sqrt3}{8}$

 

 

Answer 2

Сторона квадрата равна: корQ

Диагональ квадрата равна: корQ*кор2 = кор(2Q) и равна диаметру описанной окружности.

Значит радиус описанной окружности: R = кор(2Q) /2 = кор(Q/2)    (1)

Для прав. тр-ка центр описанной окр-ти лежит в точке пересеч. высот(медиан, биссектрис). Так как медианы в т. пересеч. делятся в отношении 2:1 считая от вершины, то радиус описанной окружности для прав. тр-ка равен 2/3 от медианы(высоты, биссектрисы). А так как высота прав. тр-ка равна (акор3)/2, то :

R = (2/3)*(акор3)/2 = (акор3)/3    (2)

Приравняв (1) и (2), получим:

$a=\ \frac{\sqrt{6Q}}{2}.$

Площадь тр-ка:

S = (a^2кор3)/4 =  $\frac{3\sqrt{3}Q}{8}.$

Answer 3

Пусть сторона квадрата равна a, сторона правильного треугольника равна b, а радиус окружности равен R.

Так как квадрат вписан в окружность, то его диагональ равна диаметру окружности, то есть 2R. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой 2R и катетами a, a, получаем a^2 + a^2 = (2R)^2, откуда 2a^2 = 4R^2, и a^2 = 2R^2.

Также, так как правильный треугольник вписан в окружность, его высота h равна радиусу окружности R. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой b и катетами h, b/2, получаем (b/2)^2 + h^2 = b^2, откуда b^2/4 + R^2 = b^2, и b^2 = 4R^2.

Из этих двух уравнений следует, что a^2 = 2R^2 = b^2, то есть сторона квадрата и сторона треугольника равны между собой.

Так как площадь квадрата равна Q, то Q = a^2 = b^2.

Таким образом, сторона и площадь треугольника равны стороне и площади квадрата и равны Q.