Question

Срочно!!! 66 баллов Внутри параллелограмма АВСD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВСЕ и АЕD равна половине площади параллелограмма.

Answer 1

Параллелограмм АВСД (АВ=СД, АД=ВС, а также АВ||CД и АД||ВС)
Через точку Е проведем прямую МН, перпендикулярную сторонам АД и ВС и пересекающую их в точках М и Н соответственно.
Площадь ΔВСЕ: Sвсе=ЕМ*ВС/2
Площадь ΔАЕД: Sаед=ЕН*АД/2=ЕН*ВС/2
Площадь параллелограмма АВСД: Sавсд= ВС*МН
Sвсе+Sаед=ЕМ*ВС/2+ЕН*ВС/2=ВС/2(ЕМ+ЕН)=ВС*МН/2=Sавсд/2

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.

Пусть АВСD - параллелограмм, а Е - произвольная точка внутри него.

Тогда проведем отрезки АЕ и СЕ.

Треугольники АЕС и АЕD образуются отрезками АЕ, СЕ и диагональю АС параллелограмма.

Так как АС - диагональ параллелограмма, то она делит его на два равных треугольника: АСЕ и АСD.

Также, по свойству параллелограмма, треугольники АСЕ и АЕС имеют одинаковую площадь.

Треугольники АСЕ и АСD также имеют одинаковую площадь, так как они образуются отрезками АС, СЕ и диагональю АD параллелограмма.

Таким образом, сумма площадей треугольников АСЕ и АЕС равна сумме площадей треугольников АСЕ и АСD, что составляет половину площади параллелограмма АВСD.

Таким образом, доказано, что сумма площадей треугольников ВСЕ и АЕD равна половине площади параллелограмма АВСD.