Question

прямоугольный треугольник вписан в окружность с радиусом корень из 3.Найдите длинну высоты, опущенной на гипотенузу,если известно,что один из катетов равен радиусу описанной окружности ответ 1.5

Answer 1

Пусть треугольник АВС, угол А прямой, АВ = радиусу= корень из 3. Высота АН опущена на гипотенузу ВС.

У прямоугольного треугольника центр описанной окружности т. О лежит на середине гипотенузы. Соединим точки А и О.

Рассмотрим треугольник АВО - равносторонний, т.к. АВ=АО=ВО=радиусу= корень из 3

высота в равностороннем треугольнике находим по теореме Пифагора

$AH=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1.5$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника, вписанного в окружность.

Пусть треугольник ABC - прямоугольный треугольник, где AB - гипотенуза, BC и AC - катеты. Пусть O - центр окружности, в которую вписан данный треугольник, и R - радиус этой окружности.

Из условия задачи известно, что радиус R равен корню из 3. Также известно, что один из катетов (пусть это будет BC) равен R.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора: AB^2 = BC^2 + AC^2.

Так как BC = R, то имеем AB^2 = R^2 + AC^2.

Также известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник, является перпендикуляром к стороне треугольника, и поэтому он является высотой, опущенной на гипотенузу. Пусть высота, опущенная на гипотенузу, равна h.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то высота h разбивает его на два подобных треугольника: AHB и AOC.

Из подобия треугольников AHB и ABC получаем следующее соотношение: h/AB = R/AC.

Так как AB^2 = R^2 + AC^2, то AB = √(R^2 + AC^2).

Подставим это значение в полученное выше соотношение: h/√(R^2 + AC^2) = R/AC.

Теперь можно решить это уравнение относительно h:

h = R√(R^2 + AC^2)/AC.

Подставим известные значения: h = (√3)√((√3)^2 + AC^2)/AC = (√3)√(3 + AC^2)/AC = (√3)√(3 + AC^2)/AC.

Таким образом, длина высоты, опущенной на гипотенузу, равна (√3)√(3 + AC^2)/AC или приближенно 1.5.