Question

1) В треугольной пирамиде DABC даны векторы DA=a, DB=b, DC=c. Найти вектр DM, если м-центр тяжести основания ABC. 2) Дан треугольник с вершинами A(0;-1;-1), B(2;0;-3), D(-5;-5;3). Вычислить с помощью векторов его площадь и высоту: CD

Answer 1

2) Дан треугольник с вершинами A(0;-1;-1), B(2;0;-3), D(-5;-5;3).
    Площадь треугольника равна половине векторного произведения                 двух векторов, выходящих из одной точки.
    Вектор АВ (2; 1; -2).
    Вектор АС (-5; -4; 4).
     Векторное произведение a × b =
    = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}=
    = ((4-8);(10-8); (-8-(-5))) = (-4; 2; -3).
    Модуль ахв = √((-4)²+2²+(-3)²) = √(16+4+9) = √29 ≈5,3851648.
    Площадь равна (а*в)/2 = 5,385165/2 = 2,6925825.
    
    Условие перпендикулярности векторов: 
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение
 xaxb + yayb + zazb= 0.
AB(2;1;-2).
СД(-2;2;-1).    2*(-2)+1*2+(-2)*(-1) = -4+2+2 = 0.
Но длина высоты равна удвоенной площади треугольника, делённой на сторону.
Для этого находим длину стороны АВ:
АВ = √(2²+1²+(-2)²) = √(4+1+4) = √9 = 3.
СД = 2S/AB = 2*2,6925825/3 =  1,7950549.

Answer 2

1) Вычисление вектора DM в треугольной пирамиде

В данной задаче требуется найти вектор DM, где M - центр тяжести основания ABC в треугольной пирамиде DABC, если известны векторы DA=a, DB=b, DC=c.

Центр тяжести основания ABC находится в точке, которая является средним арифметическим вершин треугольника ABC.

Формула для нахождения центра тяжести векторов A, B и C: \[ M = \frac{A + B + C}{3} \]

Теперь, чтобы найти вектор DM, нужно вычесть вектор D из вектора M: \[ DM = M - D \]

2) Вычисление площади и высоты треугольника с помощью векторов

Для вычисления площади треугольника CD нужно использовать следующую формулу: \[ S = \frac{1}{2} \| \vec{CD} \times \vec{AB} \| \] где \( \vec{AB} \) - вектор, соединяющий вершины A и B.

Для вычисления высоты треугольника CD относительно стороны CD можно использовать формулу: \[ h = \frac{2S}{\| CD \|} \]

Теперь давайте вычислим необходимые значения.