Question

Отрезки MN и EF пересекаются в их середине в точке P. Докажите что прямые MN и EF паралельны.

Answer 1

Тр ENP = тр FPM ( по двум сторонам и углу м/д ними), а именно:
 уг EPN = уг FPM (как вертикальные)
      MP=PN по условию
      FP = PE по условию
⇒уг PNE = уг PMF, а они внутренние накрест лежащие при MF и EN и секущей MN 
⇒MF||EN (по признаку параллельности)

Answer 2

Доказательство параллельности отрезков MN и EF

Для доказательства параллельности отрезков MN и EF, используем информацию о пересечении отрезков в их середине в точке P.

По условию, отрезки MN и EF пересекаются в их середине в точке P.

Так как точка P является серединой отрезка MN, то можно сказать, что отрезок MP равен отрезку NP. Аналогично, так как точка P является серединой отрезка EF, отрезок EP равен отрезку FP.

Теперь рассмотрим треугольники MPE и NPF. В этих треугольниках у нас есть две пары равных сторон: MP = NP и EP = FP.

Из свойства треугольников, если у двух треугольников две пары сторон равны, то эти треугольники равны.

Следовательно, треугольники MPE и NPF равны.

Теперь рассмотрим углы треугольников MPE и NPF. У этих треугольников углы MEP и NFP являются вертикальными углами, а вертикальные углы равны.

Таким образом, у треугольников MPE и NPF у нас есть две пары равных сторон и равные углы, что означает, что эти треугольники равны по стороне-уголу-стороне (СУС).

Следовательно, у треугольников MPE и NPF равны все стороны и углы.

Так как стороны MP и NP равны, а стороны EP и FP равны, то отрезки MN и EF параллельны, так как соответствующие стороны параллельных линий равны.

Таким образом, доказано, что отрезки MN и EF параллельны.