Question

Діагональ прямокутника дорівнює 5 см, а його площа 12 см квадратних. Знайдіть сторони прямокутника.

Answer 1

Задача довольно просто решается устно, так как несложно предположить, если площадь равна 12, то стороны могут быть 3 и 4; с помощью теоремы Пифагора найти диагональ, она равна 5... Но если нужно решение, то можно решить с помощью системы уравнений.

Пусть a и b - стороны прямоугольника, тогда:
а²+b²=5² (по теореме Пифагора)
a*b=12 (площадь прямоугольника)
Решаем систему уравнений:

$\left \{ {{a^2+b^2=25} \atop {a*b=12}} \right. \ \ \to \ \ \left \{ {{a^2+b^2=25} \atop {a= \frac{12}{b} }} \right. \\ \\ ( \frac{12}{b} )^2+b^2=25 \\ \frac{144}{b^2}+b^2=25 \\ 144+b^4=25b^2 \\ b^4-25b^2+144=0$
Замена: пусть b²=t;   t>0
$t^2-25t+144=0 \\ D=(-25)^2-4*1*144=625-576=49=7^2 \\ t_1= \frac{25-7}{2}=9 \\ t_2= \frac{25+7}{2}=16$
Обратная замена:
b² = 9     или   b² = 16
b = ±√9           b = ±√16
b = ±3             b = ±4

Отрицательные корни не рассматриваем, так как они не подходят по условию, значит стороны искомого прямоугольника 3 и 4 см.

Answer 2

Знайти сторони прямокутника

Діагональ прямокутника дорівнює 5 см, а його площа - 12 см². Щоб знайти сторони прямокутника, ми можемо скористатися наступними формулами:

1. Формула для знаходження площі прямокутника: площа = довжина × ширина. 2. Формула для знаходження діагоналі прямокутника: діагональ = √(довжина² + ширина²).

Ми знаємо, що діагональ дорівнює 5 см, а площа - 12 см². Давайте позначимо довжину прямокутника як "а" і ширину як "b".

За допомогою формули для знаходження площі прямокутника, ми можемо записати рівняння: a × b = 12. За допомогою формули для знаходження діагоналі прямокутника, ми можемо записати рівняння: √(a² + b²) = 5.

Тепер ми маємо систему рівнянь, яку можна вирішити для знаходження сторін прямокутника. Давайте розв'яжемо її.

Розв'язок

1. За допомогою формули для знаходження площі прямокутника, ми маємо рівняння: a × b = 12.

2. За допомогою формули для знаходження діагоналі прямокутника, ми маємо рівняння: √(a² + b²) = 5.

Ми можемо використати перше рівняння для виразу однієї змінної через іншу. Наприклад, можемо виразити "b" через "a": b = 12/a.

Підставимо це значення "b" у друге рівняння:

√(a² + (12/a)²) = 5.

Після спрощення цього рівняння, ми отримаємо квадратне рівняння:

a² + (12/a)² = 25.

Розв'яжемо це рівняння для "a". Після розв'язання отримаємо два значення для "a": 2 і 6.

Тепер, коли ми знаємо значення "a", ми можемо використати перше рівняння для знаходження відповідних значень "b". Підставимо значення "a" у перше рівняння:

a × b = 12.

Якщо "a = 2", то "b = 12/2 = 6".

Якщо "a = 6", то "b = 12/6 = 2".

Отже, сторони прямокутника можуть бути 2 см та 6 см або 6 см та 2 см.

Відповідь: Сторони прямокутника можуть бути 2 см та 6 см або 6 см та 2 см.