Question

Докажите,что если в четырехугольник АВСД вписана окружность с центром в точке О,то угол АОВ+ угол СОД=180 градусов

Answer 1

Рассмотрим треугольник АОВ. Здесь <OAB=1/2<A. Для этого утверждения мы использовали свойство касательных к окружности: отрезки касательных АВ и АD к окружности, проведенные из одной точки А, равны и составляют равные углы с прямой АО, проходящей через эту точку А и центр окружности О (<OAB=<OAD=1/2<A).
Таким же образом утверждаем, что <ОВА=1/2<В (касательные ВС и ВА проведены к окружности из точки В).
Зная сумму углов треугольника, запишем:
<AOB=180-(<OAB+<OBA)=180-(1/2<A+1/2<B)=180-1/2(<A+<B).
Рассмотрим треугольник COD. Здесь <OCD=1/2<C (касательные CB и CD к окружности проведены из точки С) и <ODC=1/2<D (касательные DC и DA проведены из точки D). Тогда
<COD=180-(<OCD+<ODC)=180-(<1/2<C+1/2<D)=180-1/2(<C+<D).
Зная сумму углов четырехугольника ABCD, запишем:
<A+<B+<C+<D=360,
<A+<B=360-<C-<D.
В выражение <AOB=180-1/2(<A+<B) подставим значение для суммы <A+<B:
<AOB=180-1/2(<A+<B)=180-1/2(360-<C-<D)=1/2(<C+<D). 
Запишем сумму углов АОВ и COD:
<AOB+<COD=1/2(<C+<D) + 180-1/2(<C+<D)=180°, что и требовалось доказать.

Answer 2

Предположим, что в четырехугольник АВСД вписана окружность с центром в точке О. Наша задача - доказать, что угол АОВ и угол СОД равны 180 градусов.

Для начала, давайте рассмотрим свойства вписанных углов. В четырехугольнике, вписанном в окружность, угол, опирающийся на дугу, равен половине меры этой дуги. То есть, если у нас есть угол, опирающийся на дугу, длина которой равна α, то мера этого угла равна α/2.

Теперь обратимся к нашему четырехугольнику АВСД. У нас есть вписанная окружность с центром в точке О. Пусть угол АОВ имеет меру α, а угол СОД имеет меру β.

Так как окружность вписана в четырехугольник, каждый из углов АОВ и СОД опирается на дугу окружности. Пусть длина дуги, на которую опирается угол АОВ, равна α1, а длина дуги, на которую опирается угол СОД, равна β1.

Используя свойство вписанных углов, мы можем сказать, что мера угла АОВ равна α1/2, а мера угла СОД равна β1/2.

Теперь обратимся к самой окружности с центром в точке О. Поскольку центр окружности является серединой диаметра, угол, опирающийся на диаметр, равен 180 градусов.

Так как дуга, на которую опирается угол АОВ, является диаметром, ее длина равна длине окружности, то есть α1 = 180 градусов. Аналогично, β1 = 180 градусов.

Используя эти значения, мы можем сказать, что мера угла АОВ равна (180 градусов)/2 = 90 градусов, а мера угла СОД равна (180 градусов)/2 = 90 градусов.

Таким образом, мы доказали, что угол АОВ и угол СОД в четырехугольнике АВСД, в котором вписана окружность с центром в точке О, равны 90 градусов каждый. А так как их сумма равна 90 + 90 = 180 градусов, мы можем заключить, что угол АОВ и угол СОД равны 180 градусов.