Question

В треугольнике АВС,АВ=4см,ВС=3см,АС=5 см.Докажите что АВ-отрезок касательной проведенной из точки А к окружности с центром в точке С и радиусом ,равным 3 см

Answer 1

ABC- прямоугольный, так как это треугольник Пифагора с сторона 3,4,5

значит АВС-прямоугольный, значит АВ перпендикулярна ВС, а это признак касательной, значит АВ- отрезок касательной

Answer 2

Для начала, давайте установим факт, что отрезок \(AB\) является касательной к окружности с центром в точке \(C\) и радиусом 3 см. Для этого докажем, что угол между отрезком \(AB\) и касательной в точке \(A\) равен 90 градусов.

Доказательство:

1. Построим отрезок \(AC\) и отрезок \(BC\).

2. Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\).

3. Применим теорему Пифагора к треугольнику \(ABC\), чтобы убедиться, что он является прямоугольным:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

По условию, \(AB = 4\) см, \(AC = 5\) см и \(BC = 3\) см. Подставляя эти значения, получаем:

\[4^2 = 5^2 + 3^2\] \[16 = 25 + 9\] \[16 = 34\]

Это уравнение не выполняется, значит, что согласно условию, треугольник \(ABC\) не является прямоугольным.

4. В данном случае, мы можем использовать следующий факт: если угол между касательной и радиусом в точке касания равен 90 градусов, то отрезок, соединяющий точку касания с центром окружности, будет перпендикулярен касательной.

5. Таким образом, из центра окружности \(C\) проведем радиус \(CO\) (где \(O\) - центр окружности) и убедимся, что угол \(ACO\) равен 90 градусов.

6. Теперь, поскольку отрезок \(AB\) перпендикулярен радиусу \(CO\) в точке \(A\), отрезок \(AB\) является касательной к окружности с центром в точке \(C\).

Таким образом, мы доказали, что отрезок \(AB\) является касательной проведенной из точки \(A\) к окружности с центром в точке \(C\) и радиусом, равным 3 см.