Question

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой BC и плоскостью SAF

Answer 1

BC II AD; Пусть начало координат O в середине AD; Ось OX вдоль AD, ось OY -перпендикулярно (проходит через середины BC и EF), ось OZ  вдоль OS;
Плоскость SAF пересекает оси OX в точке A (0, -1, 0) OY в точке M (0, -√3, 0) и OZ в точке S (0, 0, √3);
Координаты M и S очень легко вычислить, потому что OM = OS = OA*tg(60°) (треугольник ASD очевидно равносторонний).
Уравнение плоскости SAF выглядит так
- x - y/√3 + z/√3 = 1;
откуда вектор, нормальный к этой плоскости N = (-√3, -1, 1) (или любой ему пропорциональный).
Теперь надо найти угол между N и осью OX
cos(Ф) = Nx/INI = -√(3/5); по сути это ответ, знак косинуса не важен, его надо просто отбросить (минус означает, что вектор N "смотрит налево", не более того, но можно выбрать и противоположный ему вектор в качестве нормального)
Ф = arccos(√(3/5));
В задаче надо найти угол между BC и плоскостью SAF. Определение этого угла зависит от того, откуда и в какую сторону считать, но если выбрать ориентацию нормали и определить угол с плоскостью так, чтобы они оба были острые, то ясно, что угол с нормалью и угол с плоскостью вместе составляют 90°; отсюда нужный угол равен arcsin(√(3/5));

Answer 2

Для нахождения синуса угла между прямой BC и плоскостью SAF в правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, нам необходимо найти угол между этой прямой и нормалью к плоскости SAF.

Так как пирамида SABCDEF правильная, то угол между боковой гранью и основанием равен 60 градусам. Также известно, что угол между боковой гранью и основанием равен углу между прямой и нормалью к плоскости. Поэтому угол между прямой BC и плоскостью SAF равен 60 градусам.

Теперь найдем синус этого угла. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае противолежащий катет равен 2 (длина бокового ребра), а гипотенуза равна длине основания, то есть 1. Таким образом, синус угла между прямой BC и плоскостью SAF равен 2/1 = 2.

Итак, синус угла между прямой BC и плоскостью SAF равен 2.