Question

В равностороннем треугольнике ABC проведены медианы CM и BK. Докажите, что треугольник BMC = треугольнику BKC.

Answer 1

BK = MC (в равностороннес треугольнике все три медианы равны между собой)
KC = MB, т.к. AM = MB = 1/2AB = 1/2AC
Медианы в равностороннем треугольнике являются ещё высотами, поэтому угол CKB = углу CMB = 90°
Тогда ∆BMC = ∆BKC (по 1 признаку, либо по катета и гипотенузе)

Answer 2

Чтобы доказать, что треугольник BMC равен треугольнику BKC, мы можем воспользоваться свойствами медиан в равностороннем треугольнике.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все три стороны равны между собой. В равностороннем треугольнике все углы также равны 60 градусов.

Свойства медиан в равностороннем треугольнике

В равностороннем треугольнике медианы делятся друг на друга и на третью медиану в отношении 2:1. То есть, если M - середина стороны AB, то точка C делит медиану BK в отношении 2:1, и точка B делит медиану CM в отношении 2:1.

Доказательство

Для начала обратимся к свойству медиан в равностороннем треугольнике. Поскольку треугольник ABC - равносторонний, медиана CM делит медиану BK в отношении 2:1. Это означает, что отрезок BM в два раза длиннее отрезка MC.

Теперь рассмотрим треугольники BMC и BKC. У них общая сторона BC, и мы знаем, что BM в два раза длиннее MC. Таким образом, сторона BM в треугольнике BMC такая же, как сторона BK в треугольнике BKC, а сторона MC в треугольнике BMC такая же, как сторона KC в треугольнике BKC.

Таким образом, треугольник BMC и треугольник BKC имеют две стороны, которые равны по длине, и общую сторону. Следовательно, по свойству равенства сторон треугольников, треугольник BMC равен треугольнику BKC.

Визуальное представление:

``` B / \ / \ / \ M-------K | | | | | | C-------| ```

В данном треугольнике треугольник BMC и треугольник BKC имеют две равные стороны и общую сторону, следовательно, они равны.