Question

В треугольнике авс уголС=60градусов.на стороне АС отмечена точка D так,что угол ВDС=60 градусов,угол АВD=30 градусов 1)докажите,что АD=BC 2)докажите,что периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка ВС

Answer 1

угол DBC = 180-C-BDC=180-60-60=60, тогда треугольник BDC - равносторонний (BD=DC=BC)

так как угол ABD=30, то угол B=30+60=90.

Угол A=180-90-60=30 градусов,

то треуг ABD- равнобедренный и AD=DB, тогда AD= BC, так как треугольник BDC - равносторонний

Найдем сторону AB по теореме Пифагора AB=√(4BC²-BC²)=BC√3

Периметр ΔABC=AB+AC+BC=BC√3+2BC+BC=BC(3+√3)≈4.73BC <5BC

Answer 2

Доказательство 1: AD = BC

Чтобы доказать, что AD = BC, мы можем использовать свойства треугольников.

Свойство 1: Угол, смежный с центральным углом

В данном случае, угол ВDС является центральным углом треугольника АВС, так как он опирается на дугу AC. Следовательно, угол ВDС равен половине угла АСВ, то есть 30 градусов.

Свойство 2: Отношение сторон треугольника с центральным углом

Если рассмотреть треугольники АВС и АДС, мы можем заметить следующее:

- Сторона АС общая для обоих треугольников. - Угол АСВ равен углу АСД, так как они являются вертикальными углами. - Угол ВАС равен углу ДАС, так как они являются вертикальными углами.

Используя эти свойства, мы можем сделать следующее рассуждение:

В треугольнике АВС сторона ВС является общей стороной с треугольником АДС, а угол ВСА равен углу ДСА. Следовательно, треугольники АВС и АДС подобны по стороне-углу-стороне (SAS).

Так как треугольники подобны, мы можем использовать отношение сторон, чтобы установить равенство:

AD / AC = BC / AB

Так как угол ВДС равен углу ВСА, мы можем записать:

AD / AC = BC / AC

Упрощая выражение, получаем:

AD = BC

Таким образом, мы доказали, что AD = BC.

Доказательство 2: Периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка ВС

Чтобы доказать, что периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка ВС, мы можем использовать свойства треугольников и неравенства треугольника.

Свойство 1: Неравенство треугольника

В треугольнике, сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны.

Свойство 2: Периметр треугольника

Периметр треугольника - это сумма длин его сторон.

Доказательство

Обозначим длину отрезка ВС как x.

Так как АВ = АС и у нас имеется угол между ними равный 60 градусам, мы можем заключить, что треугольник АВС является равносторонним. Следовательно, АВ = АС = x.

Тогда периметр треугольника ABC будет равен:

AB + BC + CA = x + x + x = 3x

Согласно свойству 1, сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. В данном случае, BC + CA > AB и AB + CA > BC.

Так как AB = AC = x и ВС = x, мы можем записать:

x + x > x и x + x > x

2x > x и 2x > x

x > 0 и x > 0

Таким образом, мы можем заключить, что x (длина отрезка ВС) должна быть положительным числом.

Теперь, чтобы доказать, что периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка ВС, мы можем записать:

Периметр треугольника ABC = 3x < 5x

Так как x > 0, мы можем утверждать, что:

3x < 5x

3 < 5

Следовательно, периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка ВС.

Таким образом, мы доказали, что периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка ВС.