Question

В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпендикулярна основаниям AD и BC , сумма острых углов A и С равна 90*. Найдите площадь трапеции , если основания AD=2, BC=18

Answer 1

Треугольник ADB прямоугольный и треугольник DBC тоже. (BD перпендикулярно AD и BC.) Далее, угол BAD + угол ABD = 90, и угол BCD + угол BAD = 90; то есть треугольники ABD и DBC имеют равные углы и общий катет BD. Из подобия этих треугольников следует

BD/AD = BC/BD; BD^2 = BC*AD;

BD^2 = DC^2 - BC^2; обозначим BC = x; 

DC^2 - x^2 = x*AD; x^2 + 2*x - 18^2 = 0; x = корень(325) - 1 = 5*корень(13) - 1;

BD^2 = 2*x; BD = корень(2*x); это высота трапеции,

полусумма оснований равна (x + 2)/2 = (5/2)*корень(13) +1/2;

перемножаем, получаем площадь.

S = ((5)*корень(13) +1)*корень(2*(5*корень(13) - 1))/2;

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства прямоугольной трапеции.

Так как меньшая диагональ BD перпендикулярна основаниям AD и BC, то мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника. Пусть точка пересечения диагоналей обозначается как O.

Так как сумма острых углов A и C равна 90 градусов, то у нас есть два прямоугольных треугольника AOB и COD.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали BD. Пусть AB = a, CD = b, AD = c, и BC = d. Тогда мы можем записать:

a^2 + b^2 = c^2 b^2 + d^2 = c^2

Так как AD = 2 и BC = 18, то мы можем записать:

a^2 + b^2 = 4 b^2 + 324 = c^2

Теперь мы можем найти c, используя уравнения выше. Мы также можем найти площадь трапеции, используя формулу:

S = (AD + BC) * h / 2

где h - это высота трапеции. Мы можем найти h, используя теорему Пифагора для треугольника AOB:

a^2 + h^2 = c^2

Теперь, зная c и h, мы можем найти площадь трапеции.