Question

Помогите пожалуйста. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды и площадь ее боковой поверхности равны соответственно S и Q. Найдите объем пирамиды. Заранее большое спасибо.

Answer 1

Принцип решения элементарный, но много всяких корней...

Чтобы сократить запись, сразу напишу соотношение, которое кое-кому придется доказывать самому.

S = Q*cos(Ф); 

где Ф - угол наклона граней к основанию (то есть линейный угол двугранного угла между плоскостью одной из - все равно какой - боковых граней и основанием). Это - угол между апофемой и ее проекцией на основание (а почему? :))

Ясно, что сторона квадрата в основании равна √S. Соответственно, проекция апофемы (любой) на основание равна

r = (√S)/2; (а почему - r ?)

Высота пирамиды Н = r*tg(Ф); 

Осталось выразить tg(Ф) через cos(Ф)=S/Q;

sin(Ф) = √(1 - (S/Q)^2); 

tg(Ф) = √((Q/S)^2 - 1); 

H = (1/2)*(√S)*√((Q/S)^2 - 1);

V = S*H/3 = (1/6)*(S*√S)*√((Q/S)^2 - 1) = (1/6)*√(S*(Q^2 - S^2));