Question

Через точку А проведены касательная АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что AB²= AP*AQ.

Answer 1

пусть О - центр окружности
пусть АВ = а
пусть АР = в
пусть AQ = c
пусть АO = х
пусть ОВ = ОР = ОQ = r
пусть угол РАО = у
**************************
по теореме пифагора и по теореме косинусов выразим стороны трех треугольников с общей вершиной А и общей стороной АО
получим 3 уравнения
x² = a² + r²
r²=x² + b²-2xb*cos(y)
r²=x²+c²-2xc*cos(y)
***************
x² = a² + r²
r²=a² + r²+ b²-2xb*cos(y)
r²=a² + r²+c²-2xc*cos(y)
***************
a² + b²=2xb*cos(y)
a² +c²=2xc*cos(y)
***************
(a² + b²)*c=2xbc*cos(y)
(a² +c²)*b=2xbc*cos(y)
***************
(a² +c²)*b=(a² + b²)*c
***************
a²b +c²*b=a²c + b²*c
***************
a²b - a²c = b²*c-c²*b
***************
a²(b - c) = bc(b-c)
***************
a² = bc
***************
AB²= AP*AQ - что и требовалось доказать