Question

Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, на 18 корней из 5 см больше периметра правильного треугольника, вписанного в эту же окружность. Найдите радиус окружности.а -сторона описанного Δ в -сторона вписанного Δ а√3/6=в√3/2 а-в=18√5/3, решим систему (18√5/3+в)*(√3/6)=в√3/2 в=3√3 R=3√3*√3/2=3 смПочему а√3/6=в√3/2 это так равно? Объясните пожалуйста формулами

Answer 1

Это очень простая задача, и не понятно, что тут объяснять про √3.

Есть теорема синусов, из которой сразу следует, что сторона ВПИСАННОГО в окружность треугольника (для которого окружность радиуса R является описанной) равна 

a = 2*R*sin(60) (если очень хочется, то это то же самое, что a = R√3)

Теперь надо сообразить, что центры вписаной и описанной окружностей совпадают в правильном треугольнике с точкой пересечения медиан, и радиус описанной окружности - это отрезок медианы (любой) от вершины до точки пересечения, а радиус вписанной окружности - это отрезок медианы (высоты, биссектрисы, это одно и то же в правильном треугольнике) от точки пересечения до высоты. Точка пересечения медиан делит из на отрезки в отношении 2/1, то есть в правильном треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности. 

Отсюда для стороны ОПИСАННОГО вокруг окружности треугольника b справедливо 

b = 2*R1*sin(60), где R1 - радиус ОПИСАННОЙ вокруг ВНЕШНЕГО треугольника окружности. Как я только что показал, R1 = 2*R (это тот самый R, который надо найти, потому что для внешнего треугольника окружность радиуса R - вписанная).

Получается

b = 4*R*sin(60) = 2*a.

То есть разность длин сторон равна длине стороны внутренного треугольника и половине стороны внешнего. А разность периметров равна периметру вписанного треугольника, конечно. Чтобы получить сторону меньшего треугольника, надо просто эту заданную разность периметров поделить на 3.

Это все.

Хотя соотношение b = 2a можно показать и "чисто" геометрически.

Дело в том, что вписанная во внешний треугольник окружность пересекает медианы посередине между вершиной и центром. То есть сторона внутреннего треугольника - это средняя линяя в треугольнике с вершиной в центре окружности и стороной внешнего треугольника в качестве основания. ЧТД.

 

Само решение очень простое -

18√5/3 = a = R√3; R = 2√15;

 

Насчет формул. Геометрия - это наука, построенная на логике и воображении, поэтому "формулы" являются всего лишь инструментом, причем второстепенным.