Question

Помогите пожалуйста. В треугольнике АВС из вершины прямого угла В проведен перпендикуляр ВК к стороне АС. АВ=15 см, ВС=20 см. Из вершины В к плоскости треугольника АВС проведен перпендикуляр ВD. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы АС, если BD=16 см.( решать задачу нужно с помощью теоремы о трех перпендикулярах)

Answer 1

из вершины прямого угла В проведен перпендикуляр ВК к стороне АС. -это высота  h

h=BK

по теореме Пифагора  гипотенуза 

AC^2=AB^2+BC^2 = 15^2+20^2=625

AC = 25 см

есть две формулы площади

S=1/2*AB*BC

S=1/2*BK*AC

приравняем S

1/2*AB*BC =1/2*BK*AC

BK = AB*BC /AC = 15*20 / 25 =12 

имеем точку D  вне плоскости

BK - перпендикуляр к прямой АС (по условию)

BD - перпендикуляр  к плоскости (по условию), а значит перпендикуляр к АС

соединим точки К и D - получим отрезок DK - это наклонная к плоскости с проекцией ВК

по теореме О ТРЕХ перпендикулярах - DK тоже перпендикуляр к АС

а раз это перпендикуляр - значит кратчайшее расстояние от т. D до гипотенузы АС

ну все -треугольник DBK - прямоугольный  - угол <DBK =90

тогда по теорме Пифагора  

DK^2 = BD^2+BK^2 = 16^2+12^2=400

DK = 20 см

ОТВЕТ 20 см