Question

В параллелограмме ABCD точка M-середина стороны BC. Биссектрисы углов А и D разбивают отрезки ВМ и МС пополам. Найдите большую сторону параллелограмма, если периметр его равен 80 см.

Answer 1

Задача имеет два решения. 
1) Биссектрисы углов A  и  D не пересекаются;
2) Биссектрисы углов А и D - пересекаются.
Общим для обоих случаев является следующее:
 Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Действительно, так как биссектриса угла А параллелограмме является и секущей при параллельных ВС и АD, то ∠ ВТА=∠ ТАD как накрестлежащий. Но ∠ ТАD=∠ ТАВ по условию, следовательно, ∠ВАТ=∠АТВ. 
Если в треугольнике два угла равны, то  он равнобедренный.
 ∆ АВТ - равнобедренный.  На том же основании и ∆ DEC равнобедренный. 
АВ=ВТ, ЕС=СD. 
Полное решение отдельно  для каждого случая дано в приложении.