Question

Доказать,что треугольник равнобедренный,если высота проведенная из вершины к основанию является медианой.

Answer 1

АВС треугольник, ВМ - высота и медиана.
Рассмотрим треугольники АВМ и СВМ. Они равны по 1 признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) АМ=СМ, т.к. ВМ - медиана по условию, угВМА=угВМС, ВМ - высота, эти углы смежные и прямые, ВМ - общая.
Или они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников: катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует, что АВ=СВ, значит АВС равнобедренный.

Answer 2

Чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, если высота, проведенная из вершины к основанию, является медианой, давайте воспользуемся определением равнобедренного треугольника и свойствами медианы.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и соответственно два равных угла. Если высота, проведенная из вершины к основанию, является медианой, то она делит основание треугольника на две равные части. Поскольку медиана также является высотой, угол между медианой и основанием треугольника делится пополам. Поскольку угол делится пополам, получаются два равных угла у основания треугольника.

Теперь рассмотрим боковые стороны треугольника. Поскольку медиана также является высотой, она перпендикулярна к основанию и делит треугольник на два равнобедренных треугольника. В каждом из этих треугольников две стороны (боковые стороны) равны между собой, так как треугольник равнобедренный.

Таким образом, мы видим, что основание разбивается медианой на две равные части, образуя два треугольника, каждый из которых является равнобедренным. Следовательно, исходный треугольник также является равнобедренным.