Question

Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны между собой.

Answer 1

Рассмотрим треугольники : ACD и BCD: CD - общая сторона, углы ADC и BCD -равны как углы при основании равнобедренной трапеции, AD = BC - как ребра равнобедренной трапеции. Получается что треугольники ACD и BCD - равны по двум сторонам и углу между ними. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, т. е. AC и DB

Answer 2

Докажем, что диагонали равнобедренной трапеции равны между собой:

Пусть ABCD - трапеция, где AB || CD. Рассмотрим диагонали AC и BD.

1. Сначала заметим, что если две прямые параллельны, то соответствующие отрезки, проведённые между параллельными прямыми и пересекающие их, равны между собой. То есть AB = CD (боковые стороны трапеции).

2. Также заметим, что в равнобедренной трапеции основания равны между собой. Итак, AB = CD.

3. Далее, в равнобедренной трапеции боковые стороны равны между собой. Получаем AD = BC.

4. Из треугольника ABD видно, что у него две стороны равны сторонам трапеции ABCD, а угол между этими сторонами тот же. Следовательно, данный треугольник равен треугольнику BCD по стороне DB, стороне AB и общему углу. Получаем, что у них углы между сторонами равны. То есть ∠BAD = ∠BDC.

5. Из треугольника ABC видно, что у него две стороны равны сторонам трапеции ABCD, а угол между этими сторонами тот же. Следовательно, данный треугольник равен треугольнику DCA по стороне AC, стороне BC и общему углу. Получаем, что у них углы между сторонами равны. То есть ∠BCA = ∠CAB.

6. Рассмотрим треугольник АСD. В нем ∠BAD = ∠BDC (по пункту 4), ∠BCA = ∠CAB (по пункту 5) и сторона AD = BC (по пункту 3). Таким образом, треугольники АСD и ВСD равны по двум углам и стороне. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны таких треугольников равны между собой. То есть AC = BD.

Таким образом, мы доказали, что диагонали равнобедренной трапеции равны между собой: AC = BD.