Question

Не координатной плоскости задан четырехугольник АВСД. Найдите его площадь, если А(-1;-2) В(-3;2) С(5;6) Д(5;1)

Answer 1

Чертим координатную плоскость, где по точкам выстраиваем нужный нам четырёхугольник. Дочерчиваем его до квадрата со стороной 8. Обнаруживаем три треугольника с гипотенузами BC, AB и AD. Находим их площади, затем, вычитаем их сумму из площади квадрата
S = 64 - (4*8*0,5 + 2*4*0,5 + 6*3*0,5) = 35

Answer 2

Для нахождения площади четырехугольника АВСД, можно воспользоваться формулой Гаусса. Она основана на использовании координат точек, заданных на некоординатной плоскости.

В качестве базового понятия формулы Гаусса используется векторное произведение, которое находится по следующей формуле: |[x1, y1, 1]| |[x2, y2, 1]| |[x3, y3, 1]|

Где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) – координаты трех точек, взятых по часовой стрелке или против часовой стрелки (важно указывать точки в порядке обхода в одном направлении).

Для нашего случая координаты точек: A(-1;-2), B(-3;2), C(5;6), D(5;1)

Найдем площадь четырехугольника АВСД:

ABCD = 1/2 * |[-1, -2, 1]| |[-3, 2, 1]| |[5, 6, 1]| |[5, 1, 1]|

Выполняем вычисления: ABCD = 1/2 * |-1 * (2 * 1 - 6 * 1) - (-3 * 1 - 5 * 1) + (-3 * 6 - (-1 * 5))| |-3 * (1 * 1 - 5 * 1) - (5 * 1 - (-1 * 3)) + (5 * 5 - (-3 * (-1)))| |5 * (1 * 6 - (-2 * 5)) - (-1 * 5 - (-3 * (-2))) + (-1 * (-2) - (-3 * (-1)))| |5 * (6 * 1 - 2 * (-2)) - (1 * (-3) - (-2 * (-1))) + (-2 * (-2) - (-3 * 1))|

ABCD = 1/2 * |-1 * (2 - 6) - (-3 - 5) + (-18 - 5)| |-3 * (1 - 5) - (5 + 3) + (25 - 3)| |5 * (6 + 10) - (-5 - 6) + (2 + 3)| |5 * (6 + 4) - (-3 + 2) + (-4 + 3)|

ABCD = 1/2 * |-1 * (-4) - (-8) + (-23)| |-3 * (-4) - (8) + (22)| |5 * (16) - (-11) + (6)| |5 * (10) - (-1) - (1)|

ABCD = 1/2 * (4 - 8 - 23) (-12 - 8 + 22) (80 + 11 + 6) (50 + 1 - 1)

ABCD = 1/2 * (-27) (2) (97) (50)

ABCD = -27/2 + 2 + 97/2 + 50/2

ABCD = -27/2 + 2 + 97/2 + 25

ABCD = (-27 + 4 + 97 + 50)/2

ABCD = 124/2

ABCD = 62

Таким образом, площадь четырехугольника АВСД равна 62 единицам площади.