Question

Дано:AB||CD, AB=CD.Докажите, что 1)BC=AD 2)BC||AD

Answer 1

ABCD- параллелограмм по признаку, что AB||CD, AB=CD, то следовательно по свойствам параллелограмма BC=AD и BC||AD.

Answer 2

Дано, что ab||cd, то есть векторы ab и cd параллельны. И также дано, что ab=cd, то есть векторы ab и cd равны по длине и направлению.

1) Чтобы доказать, что bc=ad, нужно показать, что их соответствующие компоненты равны. Разложим векторы на компоненты: ab = (a1, a2) cd = (c1, c2) bc = (b1, b2) ad = (a1, a2)

Так как ab=cd, то a1=c1 и a2=c2. И так как ab||cd, то b1 и b2 должны удовлетворять условию: a1*b2 - a2*b1 = 0. Так как a1=c1 и a2=c2, то получаем: c1*b2 - c2*b1 = 0. Так как c1*b2=c2*b1, то b1/c1=b2/c2. И так как a1=c1, то b1/c1=b2/a1. Значит, компоненты b1 и b2 у вектора bc должны быть пропорциональны компонентам a1 и a2 вектора ad. То есть, bc=ad.

2) Чтобы доказать, что bc||ad, нужно показать, что их направляющие числа пропорциональны. Направляющим числом вектора является соотношение между его компонентами. Учитывая, что ab=cd, то a1/c1=a2/c2. И тогда, чтобы bc и ad были параллельными, должно быть выполнено соотношение: b1/a1=b2/a2. Так как a1/c1=a2/c2, а b1/c1=b2/a1 из предыдущего доказательства, то b1/a1=b2/a2. Значит, bc||ad.

Таким образом, мы доказали, что если ab||cd и ab=cd, то 1) bc=ad 2) bc||ad.