Question

В треугольнике АВС угол АСВ тупой, ВО перпендикулярно АС,OF перпендикулярно АВ, OD перпендикулярно ВС. Докажите, что угол АСВ равен углу DFB.51 балл даю, я на Вас надеюсь!!!!!!!!!!

Answer 1

Ну да, сложнейшая задача :(((
Углы ODB и OFB прямые, поэтому можно построить окружность на OB, как на диаметре, и при этом точки D и F лежат на этой окружности. То есть четырехугольник ODFB - вписанный в окружность. 
Дальше, из прямоугольного треугольника AOB угол ABO = 90° - угол CAB;
поэтому угол CBO = 90° - угол CAB - угол CBA; 
из прямоугольного треугольника ODB угол DOB = 90° - угол CBO; 
угол DOB = угол CAB + угол CBA;
поскольку ODFB можно вписать в окружность, сумма углов DFB и DOB равна 180°;
То есть угол DFB = 180° - (угол CAB + угол CBA) = угол ACB; чтд.

PS. для любителей точных и минимальных решений - с углами можно разобраться на много проще. Вот так:
угол DOF = угол CBA, так как их стороны перпендикулярны (попарно).
По той же причине угол FOB = угол CAB.
То есть угол DOB = угол CAB + угол CBA;

PPS. угол DOF = угол CBA это так же сразу видно из того, что эти вписанные углы опираются на одну дугу DF построенной окружности.
На самом деле и для второй пары углов тоже есть возможность доказать равенство угол FOB = угол CAB, через дуги построенной окружности - дело в том, что AO - касательная к этой окружности, и угол AOF измеряется половиной дуги OF, так же как и угол OBA, а каждый из этих углов дополняет угол из пары (угол FOB и угол CAB) до 90°. То есть угол OBA = угол AOF; а угол FOB = 90° - угол OBA; угол CAB = 90° - угол AOF; => угол FOB = угол CAB;
Но это уже больше - для развлечения :))) 

Answer 2

В данной задаче требуется доказать, что угол АСВ равен углу DFB. Для этого мы можем использовать свойства перпендикуляров и треугольников.

Доказательство:

1. Из условия задачи известно, что угол АСВ тупой, а OF, OD и ВО являются перпендикулярами к сторонам треугольника АВС.

2. Рассмотрим треугольник АВО. Угол ВОА является прямым, так как ВО является перпендикуляром к АВ. Также, угол ВАО является прямым, так как ВО является перпендикуляром к АС. Следовательно, угол ВОА и угол ВАО равны между собой.

3. Рассмотрим треугольник ВСО. Угол СВО является прямым, так как ВО является перпендикуляром к ВС. Также, угол ВСО является прямым, так как ВО является перпендикуляром к АВ. Следовательно, угол СВО и угол ВСО равны между собой.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что угол ВОА равен углу ВСО.

5. Рассмотрим треугольник DFB. Угол DFB является прямым, так как DF является перпендикуляром к ВС. Также, угол BDF является прямым, так как DF является перпендикуляром к АВ. Следовательно, угол DFB и угол BDF равны между собой.

6. Из пункта 5 следует, что угол DFB равен углу BDF.

7. Из пунктов 4 и 6 следует, что угол ВОА равен углу DFB.

8. Так как угол ВОА равен углу ВСО (из пункта 4), то угол ВСО также равен углу DFB.

9. Так как угол ВСО равен углу АСВ (из пункта 3), то угол АСВ также равен углу DFB.

Таким образом, мы доказали, что угол АСВ равен углу DFB.

Примечание: В данном доказательстве использовались свойства перпендикуляров и треугольников. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется более подробное объяснение, я с радостью помогу!