Question

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 150 градусов, угол ABC равен 127 градусов. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Т.к. <BLC - развернутый, то <BLA=180-150=30 градусов. Т.к. сумма градусных мер треугольника равна 180, то <BAL, а значит и угол <LAC, =23 градуса, тогда <LCA=180-150-23=7 градусов.
Ответ: 7 градусов.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон. Пусть длины сторон треугольника ABC обозначены как a, b и c, а длины частей стороны AC, на которые ее делит биссектриса AL, обозначены как x и y. Тогда, по свойству биссектрисы, имеем:

$$\\frac{x}{y} = \\frac{b}{c}$$

Также, по теореме синусов, имеем:

$$\\frac{a}{\\sin{\\angle BAC}} = \\frac{b}{\\sin{\\angle ABC}} = \\frac{c}{\\sin{\\angle ACB}}$$

Из этих двух уравнений можно выразить x и y через a, b и c:

$$x = \\frac{b}{b+c}a$$

$$y = \\frac{c}{b+c}a$$

Теперь, зная углы ALC и ABC, можно найти угол BAC по теореме о сумме углов треугольника:

$$\\angle BAC = 180^\\circ - \\angle ALC - \\angle ABC = 180^\\circ - 150^\\circ - 127^\\circ = 3^\\circ$$

Затем, зная угол BAC и длины x и y, можно найти угол LAC по теореме косинусов:

$$\\cos{\\angle LAC} = \\frac{x^2 + y^2 - a^2}{2xy} = \\frac{\\left(\\frac{b}{b+c}a\\right)^2 + \\left(\\frac{c}{b+c}a\\right)^2 - a^2}{2\\cdot\\frac{b}{b+c}a\\cdot\\frac{c}{b+c}a} = \\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

$$\\angle LAC = \\arccos{\\left(\\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\\right)}$$

Наконец, зная углы BAC и LAC, можно найти угол ACB по теореме о сумме углов треугольника:

$$\\angle ACB = 180^\\circ - \\angle BAC - \\angle LAC = 180^\\circ - 3^\\circ - \\arccos{\\left(\\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\\right)}$$

Ответ: угол ACB равен $$180^\\circ - 3^\\circ - \\arccos{\\left(\\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\\right)}$$ градусов.