Question

Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. 1 пункт

Answer 1

Рассмотрим любой не равнобедренный треугольник АВС, у которого высота и медиана из точки В совпадают. Обозначим этот отрезок BD.
Рассмотрим треугольники ABD и CBD.
* Они прямоугольные, т.к. ВD - высота.
* AD=CD т.к. BD - медиана, делит AC пополам.
* ВD - общая сторона
Следовательно, треугольники равны по двум катетам.
У равных треугольников соответствующие величины равны, значит, AB=BC, а значит треугольник равнобедренный.
Итог: изначально мы предположили, что данный треугольник не равнобедренный, и доказали обратное. Значит, любой треугольник с совпадающей высотой и медианой - равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник является равнобедренным, мы можем использовать свойства треугольников и применить аналитическую геометрию.

Давайте представим треугольник ABC, где M - середина стороны BC, а H - точка пересечения медианы AM и высоты BH (которая проходит через вершину A и перпендикулярна стороне BC).

Медиана и высота треугольника

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Высота треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с прямой, проходящей через противоположную сторону и перпендикулярной ей.

Доказательство

1. Поскольку H - точка пересечения медианы AM и высоты BH, значит, эти два отрезка пересекаются в одной точке.

2. Поскольку M - середина стороны BC, то BM = MC.

3. Если мы предположим, что треугольник ABC не является равнобедренным, то AB ≠ AC.

4. Поскольку H лежит на высоте BH, то BH ⊥ AC, значит, угол BAH = 90°.

5. Также, поскольку M - середина стороны BC, то AM ⊥ BC, значит, угол BAM = 90°.

6. Из пункта 4 и 5 следует, что угол BAH = угол BAM.

7. Поскольку угол BAH = угол BAM и угол ABH = угол ABM (по свойству медианы), то треугольник ABH подобен треугольнику ABM по признаку угла-угола-угола.

8. Из пункта 7 следует, что AB/AM = BH/BM.

9. Поскольку BM = MC, то AB/AM = BH/MC.

10. Поскольку треугольник ABC не является равнобедренным (AB ≠ AC), то AB/AM ≠ 1.

11. Из пункта 9 и 10 следует, что BH/MC ≠ 1.

12. Но по условию задачи медиана AM и высота BH совпадают, значит, BH/MC = 1.

13. Получили противоречие: BH/MC ≠ 1 и BH/MC = 1.

14. Из этого противоречия следует, что наше предположение в пункте 3 неверно.

15. Следовательно, треугольник ABC должен быть равнобедренным, если медиана AM совпадает с его высотой.

Таким образом, мы доказали, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник является равнобедренным.