Question

Точка дотику кола, вписаного у прямокутний трикутник, ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4см і 6см. Знайдіть периметр трикутника.

Answer 1

Треугольник АВС: угол С - прямой.
Вписанный круг с центром О касается сторон треугольника АВ, ВС и АС в точках К, М и Н соответственно.
По условию АК=4, ВК=6
По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки:
АК=АН=4
ВК=ВМ=6
СМ=СН=х
Получается, что гипотенуза АВ=АК+ВК=4+6=10
катет АС=АН+СН=4+х
катет ВС=ВМ+СМ=6+х
По т.Пифагора: АВ²=АС²+ВС²
10²=(4+х)²+(6+х)²
100=16+8х+х²+36+12х+х²
х²+10х-24=0
D=100+96=196
х₂=(-10-14)/2=-12 не подходит
х₁=(-10+14)/2=2
катет АС=4+2=6
катет ВС=6+2=8
Периметр S=10+6+8=24

Answer 2

Знайти периметр трикутника, в якому точка дотику кола, вписаного у прямокутний трикутник, ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 см і 6 см.

Для вирішення цього завдання, спочатку знайдемо довжину гіпотенузи прямокутного трикутника. За теоремою Піфагора, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Оскільки точка дотику кола ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 см і 6 см, ми можемо записати наступне рівняння:

4^2 + 6^2 = c^2,

де c - довжина гіпотенузи.

Розв'язавши це рівняння, отримаємо:

16 + 36 = c^2, 52 = c^2, c = √52, c ≈ 7.21 см.

Тепер, коли ми знаємо довжину гіпотенузи, ми можемо знайти довжини катетів прямокутного трикутника. Оскільки точка дотику кола ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 см і 6 см, ми можемо записати наступні рівняння:

a + b = c, a = 4, b = 6.

Підставивши відомі значення, отримаємо:

4 + b = 7.21, b = 7.21 - 4, b ≈ 3.21 см.

Тепер, коли ми знаємо довжини катетів прямокутного трикутника, ми можемо знайти його периметр. Периметр трикутника - це сума довжин всіх його сторін. Оскільки прямокутний трикутник має два катети довжиною 4 см і 3.21 см, а гіпотенуза довжиною 7.21 см, ми можемо записати наступне:

периметр = 4 + 3.21 + 7.21, периметр ≈ 14.42 см.

Отже, периметр трикутника становить приблизно 14.42 см.