Question

Медиана, проведенная из вершины прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ABC , равна 2 см . Найдите гипотенузу и катеты этого треугольника .

Answer 1

Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Продлим медиану за точку пересечения с гипотенузой и отложим отрезок, равный медиане. Тогда получившийся четырехугольник - параллелограмм (смотри определение). А параллелограмм, у которого углы прямые - прямоугольник.
В прямоугольнике диагонали равны. Значит гипотенуза ВС равна 4см. По Пифагору находим катеты: ВС² = 2Х², откуда Х = 2√2см.

Answer 2

Пусть A - вершина прямого угла, B и C - остальные две вершины треугольника.

Мы знаем, что медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна 2 см. Медиана - это линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана, проведенная из вершины прямого угла, также является высотой и делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Пусть M - середина гипотенузы. Тогда AM - медиана, проведенная из вершины прямого угла.

Рассмотрим треугольник AMB. Он является равнобедренным, так как AM и MB - медианы и, следовательно, равны. Следовательно, AMB - прямоугольный, и AM является высотой к гипотенузе.

Мы знаем, что медиана AM равна 2 см, значит, AMB - прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 см и катетом 2 см.

Таким образом, гипотенуза треугольника ABC равна 4 см, а катеты равны 2 см.