Question

Дан треугольник АВС, в котором АВ=12 см, АС=15 см. На стороне АВ взята точка М так, что АМ:МВ=2:1. Через точку М проведена плоскость, которая параллельна стороне АС и пересекает сторону ВС в точке К. Найдите площадь треугольника МВК.

Answer 1

В задании есть опечатка.Думаю задача звучит так: AB=9, BC=12, AC=15/На стороне АВ взята точка М, АМ:МВ=2:1 и т.д.

Из отношения получаем, что АМ=6 МВ=3

Т.к. МК параллельно ВС, по т ФАлеса АМ:МВ=АК:КС

Следовательно АК=10 КС=5

Треугольник АВС~треугольнику АМК( по 3 углам)

АВ:АМ=ВС:МК Следовательно МК=8

Теперь наша задача найти ВК

Рассмотрим трапецию СКМВ

Проведем высоты трапеции КЕ и MN

KE=MN

Пусть СЕ=х, тогда NB=4-х

Выразим высоты трапеции по т.Пифагора из трегуольников CKE и NMB

KE²=25-x²

MN²=9-(4-x)²

25-x²=9-(4-x)²

32=8x

x=4

EB=12-4=8

KE=√(25-16)=3

KB=√(9+64)=√73

Найдем площадь треугольника по т.Герона

S=√(p*(p-MB)*(p-MK)*(p-BK)), где р-полупериметр

p=(3+8+√73)/2=(11+√73)/2

После подстановки в формулу,получаем:

S=√(11+√73)/2*(5+√73)/2*(√73-5)/2*(11-√73)/2

Преобразовываем как разность квадратов соответствующих скобок и получаем:

S=√(24*24)=24

Вот и все!

P.S. ПРОВЕРЬТЕ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ!!!!

 

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится применить теорему Талеса.

Теорема Талеса утверждает, что если прямая, проходящая через одну сторону треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону, то отношение отрезков третьей стороны, образованных этой прямой, равно отношению соответствующих отрезков других двух сторон, образованных этой же прямой.

По условию задачи, точка М делит сторону АВ так, что АМ:МВ=2:1. Так как АВ=12 см, АМ=8 см и МВ=4 см.

Согласно теореме Талеса, прямая, проходящая через точку М, параллельная стороне АС, пересекает сторону ВС в точке К так, что КВ:ВС=АМ:АВ=2:3.

Так как АС=15 см, то ВС=3/5 * 15 см = 9 см и КВ=2/5 * 15 см = 6 см.

Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника МВК.

Высота треугольника МВК проведена из вершины К на сторону МВ. Длина этой высоты будет равна расстоянию от точки М до прямой БК, которую можно найти, используя формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.

Так как точка М(4,0,0), то уравнение прямой, проходящей через точку К и параллельной стороне АС, будет иметь вид: x=6, y=t, z=t, где t - параметр.

Подставляем координаты точки М в уравнение прямой: 4=6, 0=t, 0=t. Так как уравнения не имеет решений, мы получаем, что точка М не лежит на прямой БК. Следовательно, треугольник МВК является вырожденным треугольником, у которого площадь равна нулю.