Question

В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что треугольники BEF DFE и равны

Answer 1

Рассмотрим треуголки абе и сфд. Эти треуголки равны( по гипотенузе и острому углу) значит бе=фд. Рассмотрим треуголки беф и дфе. Эти треуголки равны по двум катетам( бе=фд и еф общая), что и требовалось доказать. 

Answer 2

Чтобы доказать равенство треугольников \(BEF\) и \(DFE\), давайте рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) и диагонали \(AC\), а также перпендикуляры \(BE\) и \(DF\) к диагонали \(AC\).

В параллелограмме \(ABCD\) у нас есть несколько равенств и параллельности, которые помогут нам в доказательстве.

1. В параллелограмме противоположные стороны равны по длине и параллельны. Это означает, что \(AB = DC\) и \(AD = BC\). 2. Диагонали параллелограмма делятся пополам, то есть \(AC\) является серединой их.

Теперь касательно треугольников \(BEF\) и \(DFE\):

Мы имеем следующее: - \(BE\) и \(DF\) - перпендикуляры к \(AC\). - \(EF\) - общая сторона для обоих треугольников.

Теперь давайте рассмотрим два треугольника:

1. \(BEF\): - \(BE\) - перпендикуляр к \(AC\). - \(EF\) - общая сторона. - \(\angle BEF = \angle DFE\) - оба угла прямые (поскольку они являются вертикальными углами к диагоналям).

2. \(DFE\): - \(DF\) - перпендикуляр к \(AC\). - \(EF\) - общая сторона. - \(\angle DFE = \angle BEF\) - оба угла прямые (поскольку они являются вертикальными углами к диагоналям).

Таким образом, у нас есть: - Общая сторона \(EF\) для обоих треугольников. - По двум вертикальным углам, углы \(\angle BEF\) и \(\angle DFE\) равны.

С учетом этих фактов и применения критерия одинаковых углов и общей стороны, поскольку два треугольника имеют два угла и одну сторону равными, мы можем сделать вывод, что треугольники \(BEF\) и \(DFE\) равны.