Question

Даны точки A(1;1) B(2;3) C(0;4) D(-1;2). Докажите что ABCD прямоугольник.

Answer 1

1) Докажем, что АВСД-параллелограмм, т.е. векторы АВ и ДС равны.
$\vec{AB}= \{ 2-1;3-1 \} = \{1;2 \};\ \vec{DC}=\{ 0+1;4-2 \} = \{1;2 \}$
⇒ AB = CD и AB || CD.
Значит, АВСД - параллелограмм (по признаку).
2) Докажем, что у этого параллелограмма есть прямой угол, т.е. скалярное произведение векторов АВ и ВС равно 0.
$\vec{AB}=\{ 1;2 \};\ \vec{BC}=\{ -2;1 \};\\ =\ \textgreater \ \vec{AB} \cdot \vec{BC}= 1*(-2)+2*1=-2+2=0$
Итак, у параллелограмма АВСД имеется прямой угол. Значит, АВСД - прямоугольник.

Answer 2

Чтобы доказать, что четыре точки A(1;1), B(2;3), C(0;4) и D(-1;2) образуют прямоугольник, нужно проверить несколько условий:

1. Покажем, что все углы прямоугольника прямые. 2. Покажем, что диагонали прямоугольника пересекаются в его центре.

1. Углы прямоугольника

Для этого проверим, что произведение угловых коэффициентов противоположных сторон равно -1.

1.1. Вычислим угловые коэффициенты для сторон AB и BC:

Угловой коэффициент AB: \[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2. \]

Угловой коэффициент BC: \[ m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{4 - 3}{0 - 2} = -0.5. \]

1.2. Вычислим угловые коэффициенты для сторон CD и DA:

Угловой коэффициент CD: \[ m_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{2 - 4}{-1 - 0} = 2. \]

Угловой коэффициент DA: \[ m_{DA} = \frac{y_A - y_D}{x_A - x_D} = \frac{1 - 2}{1 - (-1)} = 0.5. \]

Таким образом, \(m_{AB} \cdot m_{BC} = 2 \cdot (-0.5) = -1\) и \(m_{CD} \cdot m_{DA} = 2 \cdot 0.5 = 1\). Оба произведения равны -1, что говорит о том, что углы противоположных сторон прямоугольника образуют прямые углы.

2. Пересечение диагоналей

Для прямоугольника диагонали пересекаются в его центре.

2.1. Диагональ AC:

\[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{4 - 1}{0 - 1} = -3. \]

2.2. Диагональ BD:

\[ m_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{2 - 3}{-1 - 2} = \frac{1}{3}. \]

Так как \(m_{AC} \cdot m_{BD} = (-3) \cdot \frac{1}{3} = -1\), диагонали пересекаются в центре прямоугольника.

Таким образом, выполняются условия для прямоугольника, и точки A(1;1), B(2;3), C(0;4) и D(-1;2) действительно образуют прямоугольник.

Answer 3

Для доказательства того, что ABCD является прямоугольником, нам необходимо проверить два условия:

1) Стороны противоположны и равны по длине. 2) Диагонали являются векторами, которые перпендикулярны друг другу.

1) Для проверки первого условия, вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA и сравним их: AB = √((2-1)^2 + (3-1)^2) = √(1 + 4) = √5 BC = √((0-2)^2 + (4-3)^2) = √((-2)^2 + 1) = √5 CD = √((-1-0)^2 + (2-4)^2) = √((-1)^2 + (-2)^2) = √5 DA = √((1+1)^2 + (1-2)^2) = √(2^2 +(-1)^2) = √5

Как видно, длины всех сторон равны √5, что означает, что стороны противоположны и равны друг другу.

2) Для проверки второго условия, вычислим вектора AB и BC, а затем их скалярное произведение: AB = (2-1, 3-1) = (1, 2) BC = (0-2, 4-3) = (-2, 1) AB·BC = (1)(-2) + (2)(1) = -2 + 2 = 0

Как видно, скалярное произведение векторов AB и BC равно 0, что означает, что эти векторы перпендикулярны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что ABCD является прямоугольником, так как выполняются оба условия.