Question

Площадь равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и АD , описанной около окружности с центром О и радиусом 3 см , равна 60 см в кв . Найдите радиус окружности , описанной около треугольника OCD .

Answer 1

Очевидно, что высота трапеции h=2r=2*3=6
Площадь трапеции S=(a+b)*h/2
60=(a+b)*6/2
(a+b)/2=10     (1)
Треугольники MOC и OCE прямоугольные с общей гипотенузой. Следовательно, они равны между собой
CE=MC=a/2
Треугольники OED и OND прямоугольные с общей гипотенузой. Следовательно, они равны между собой
ED=ND=b/2
CD=CE+ED=a/2+b/2=(a+b)/2=10
Площадь треугольника COD равна 1/2CD*EO=1/2*10*3=15
Треугольник CPD прямоугольный, по т.Пифагора
PD²=CD²-CP²=10²-6²=64
PD=8
С другой стороны
PD=b/2-a/2
b/2=PD+a/2
b/2=8+a/2
b=16+a
Подставляя в (1) найдем a
(a+16+a)=20
2a=20-16
2a=4
a=2
b=16+2=18
Рассматривая прямоугольные треугольники OCE и OED по т.Пифагора находим
OE=√(3²+(a/2)²)=√(9+1)=√10
OD=√(3²+(b/2)³)=√(9+81)=√90=3√10
Cтороны треугольника CPD найдены
Площадь треугольника и его радиус описанной окружности связаны формулой
S=OE·OD·CD/(4R)
R=OE·OD·CD/(4S)
R=√10·3√10·10/(4·15)=300/60=5
Ответ: 5 см

Answer 2

Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле:

S = ((a + b) / 2) * h,

где a и b - длины оснований, h - высота.

В данном случае, площадь равнобедренной трапеции ABCD равна 60 см².

Пусть BC = a, AD = b и h - высота. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD.

Из задачи известно, что радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, равен 3 см.

Так как окружность описана около трапеции, значит, она проходит через вершины A, B, C и D. Кроме того, известно, что AB = CD, а значит, точки, в которых окружность касается сторон AB и CD, одинаково удалены от середины отрезка BC.

Рассмотрим треугольник OCD:

Пусть OC = OD = r (радиус окружности, описанной около треугольника OCD).

Так как OC и OD - радиусы окружности, то они равны между собой: OC = OD = r.

Также известно, что AB = CD = a.

Далее, заметим, что точка O - середина отрезка AB и в то же время, O является центром окружности, описанной около трапеции ABCD.

Значит, AO - радиус этой окружности, то есть AO = r.

Тогда AO + OC = AC, а значит, r + r = a.

Итак, получаем следующую систему уравнений:

r + r = a, (1) r + r = b. (2)

Нам известно, что площадь трапеции S равна 60 см²:

S = ((a + b) / 2) * h = 60.

Так как треугольник OCD - это половина трапеции ABCD, получаем:

S = (a + b) * h / 2 = 60. (3)

Теперь мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными: (1), (2) и (3).

Для решения этой системы нам нужно больше информации или более точные данные. В данном случае, система неопределена и требует дополнительных условий задачи или данных.