Question

Докажите что векторы ВА и ВС перпендикулярны если А(0;1)В(2;3)С (-1;6)

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

AB {2-0; 3-1}
AB {2; 2}

BC {-1-2; 6-3}
BC {-3; 3}

AB*BC = x₁x₂ + y₁y₂ = -3*2 + 3*2 = -6 + 6 = 0

Раз произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Answer 3

Чтобы доказать, что векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности векторов. Вектор перпендикулярен другому вектору, если их скалярное произведение равно нулю.

Пусть \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), и \(C(x_3, y_3)\). Тогда вектор \(\vec{BA}\) можно записать как \(\langle x_1 - x_2, y_1 - y_2 \rangle\), а вектор \(\vec{BC}\) как \(\langle x_3 - x_2, y_3 - y_2 \rangle\).

Скалярное произведение векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) равно:

\[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (x_1 - x_2)(x_3 - x_2) + (y_1 - y_2)(y_3 - y_2) \]

Теперь подставим координаты точек \(A\), \(B\), и \(C\):

\[ \begin{align*} \vec{BA} \cdot \vec{BC} & = (0 - 2)(-1 - 2) + (1 - 3)(6 - 3) \\ & = (-2)(-3) + (-2)(3) \\ & = 6 - 6 \\ & = 0 \end{align*} \]

Таким образом, скалярное произведение \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0\). Это значит, что векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) перпендикулярны друг другу.