Question

Через вершину конуса проведено переріз , який перетинає його основу по хорді завдовжки 12 см. Цю хорду видно з центра основи под кутом 60° . Знайти кут між площиною перерізу та площиною основи конуса, якщо площа перерізу дорівнює 72 см.

Answer 1

Решение во вложении-----------------------------------

Answer 2

Давайте розглянемо ситуацію з конусом та його перерізом.

Позначимо центр основи конуса як O, вершину конуса як V, а хорду (яка є перерізом та розглядається під кутом 60° відносно центра основи) як AB.

Також, нехай M буде серединою хорди AB. Оскільки M є серединою хорди, то AM = MB = 6 см (половина довжини хорди).

З позначень введених величин, можемо побудувати прямокутний трикутник OMA, де OA - радіус конуса, AM - половина довжини хорди.

Застосуємо тригонометричну функцію для прямокутного трикутника:

\[\cos(\angle OMA) = \frac{OA}{AM}.\]

Оскільки \(\angle OMA\) відомий (60°), ми можемо визначити косинус цього кута. Розкриваємо косинус 60°, що дорівнює \( \frac{1}{2} \):

\[\frac{1}{2} = \frac{OA}{6}.\]

Отже, радіус OA конуса дорівнює 3 см.

Тепер розглянемо площину перерізу та площину основи конуса. Нехай P буде точкою перетину хорди з основою конуса, а N - серединною точкою хорди. Тоді троєкутник OAN є прямокутним трикутником (так як OA - радіус, AN - половина хорди). Знаємо, що \(\cos(\angle OAN) = \frac{OA}{AN}\). Розкриваємо косинус 60°:

\[\cos(60°) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.\]

Отже, кут між площиною перерізу та площиною основи конуса дорівнює 60°.

Узагальнено, ми отримали, що кут між площиною перерізу та площиною основи конуса дорівнює 60°.