Question

Даны две окружности.Чему равен радиус окружности,касающейся данных и имеющий центр на прямой,проходящей через их центры,если радиусы данных окружностей и расстояние между их центрами соответственно равны: а) 1,3,5; б) 5,2,1 в) 3,4,5? Сколько имеется решений?

Answer 1

средняя линяя равна 5/2 ,значит второй катет равен 5, гипотенуза 13, а радиус вписанной окружности (5 + 12 - 13)/2 = 2

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами касательной к окружности.

Обозначим радиусы окружностей через \(r_1\) и \(r_2\), а расстояние между их центрами через \(d\). Также пусть \(R\) - радиус искомой окружности, которая касается данных окружностей и имеет центр на прямой, проходящей через их центры.

Известно, что касательная к окружности проведенная в точке касания, образует прямой угол с радиусом, проведенным к этой точке. Следовательно, треугольник, образованный радиусом и линией, соединяющей центр окружности с точкой касания, будет прямоугольным треугольником.

Применяя теорему Пифагора для этого треугольника, мы получаем следующее уравнение:

\[ R^2 = (r_1 + r_2)^2 - d^2 \]

Теперь рассмотрим каждый из вариантов:

а) \(r_1 = 1, r_2 = 3, d = 5\)

\[ R^2 = (1 + 3)^2 - 5^2 = 4 - 25 = -21 \]

Уравнение не имеет физического смысла, так как квадрат радиуса не может быть отрицательным. Значит, для этого варианта решений нет.

б) \(r_1 = 5, r_2 = 2, d = 1\)

\[ R^2 = (5 + 2)^2 - 1^2 = 49 \]

Таким образом, для этого варианта \(R = \sqrt{49} = 7\).

в) \(r_1 = 3, r_2 = 4, d = 5\)

\[ R^2 = (3 + 4)^2 - 5^2 = 16 \]

Таким образом, для этого варианта \(R = \sqrt{16} = 4\).

Таким образом, у нас есть два решения: \(R = 7\) для варианта б) и \(R = 4\) для варианта в).