Question

Высота CD прямоугольного треугольника ABC делит гипотенузу AB на части AD=16 см и BD=9 см.Докажите что треугольник ACD подобен треугольнику CBD и найдите высоту CD

Answer 1

Рассмотрим треугольники ABC и ADC - они прямоугольные и имеют один общий угол A, значит они подобные. Рассмотрим треугольники ABC и CDB - они тоже прямоугольные и тоже имеют по одному общему углу B - то есть тоже подобные, а значит и треугольники ADC и CDB - подобные Из подобия треугольников ADC и CDB имеем DB/CD = CD/AD Откуда CD^2=AD*DB = 16*9= 144 CD = 12
 С новым годом !!!!

Answer 2

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол CAB прямой. Пусть D - точка на гипотенузе AB такая, что AD = 16 см, а BD = 9 см.

Теперь рассмотрим два треугольника: ACD и CBD.

1. Подобие треугольников ACD и CBD:

Для доказательства подобия нам нужно убедиться, что соответствующие углы треугольников равны, а их стороны пропорциональны.

- Углы:

Угол CAD прямой (так как ABC - прямоугольный треугольник), угол CBD тоже прямой. Также, угол ACD прямой (так как CD - высота треугольника).

Таким образом, угол CAD = угол CBD = 90°.

- Стороны:

AD = 16 см, BD = 9 см (дано).

Теперь нам нужно убедиться, что соответствующие стороны пропорциональны. Для этого рассмотрим отношение сторон AD и BD:

\[ \frac{AD}{BD} = \frac{16}{9} \]

Это отношение не изменяется, так как AD и BD - фиксированные значения.

Таким образом, треугольники ACD и CBD подобны по углам и сторонам.

2. Высота CD:

Теперь, так как треугольники ACD и CBD подобны, отношение высот этих треугольников также равно отношению соответствующих сторон. Пусть h1 - высота треугольника ACD, а h2 - высота треугольника CBD. Тогда:

\[ \frac{h1}{h2} = \frac{AD}{BD} = \frac{16}{9} \]

Теперь мы можем найти высоту CD. Пусть h - высота CD, тогда:

\[ \frac{h}{h1} = \frac{h + h2}{h1 + h2} = \frac{AD}{AD + BD} = \frac{16}{16 + 9} \]

Решая это уравнение, мы найдем высоту CD.

\[ \frac{h}{h1} = \frac{16}{25} \]

Поэтому:

\[ h = \frac{16}{25} \cdot h1 \]

Таким образом, высота CD равна \(\frac{16}{25}\) от высоты треугольника ACD.

Это завершает доказательство подобия треугольников и нахождение высоты CD.