Question

Сторона правильного пятиугольника равна 6 sin 36° . Найдите радиус описанной окружности этого пятиугольника.

Answer 1

Сторона такого пятиугольника
а=2*R*sin(180/5)=6*sin(36°)
2R=6
R=3 - радиус описанной окружности

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать геометрические свойства правильных пятиугольников и связь между радиусом описанной окружности и стороной правильного пятиугольника.

В правильном пятиугольнике все стороны и углы равны. Обозначим сторону правильного пятиугольника через \(s\). Так как у нас задан угол \(36^\circ\), мы можем воспользоваться тригонометрической функцией синуса:

\[ \sin(36^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

В нашем случае гипотенуза равна стороне пятиугольника \(s\), и противолежащий катет - радиус описанной окружности \(R\). Таким образом, у нас есть уравнение:

\[ \sin(36^\circ) = \frac{R}{s} \]

Мы знаем, что сторона правильного пятиугольника выражается через радиус описанной окружности как:

\[ s = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{5}\right) \]

Решим это уравнение относительно \(s\):

\[ s = 2R \sin(36^\circ) \]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение для синуса:

\[ \sin(36^\circ) = \frac{R}{2R \sin(36^\circ)} \]

Упростим уравнение:

\[ \sin^2(36^\circ) = \frac{1}{4} \]

Теперь найдем значение \(\sin(36^\circ)\) и решим уравнение:

\[ \sin(36^\circ) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, радиус описанной окружности \(R\) равен:

\[ R = \frac{s}{2 \sin(36^\circ)} = \frac{s}{2 \cdot \frac{1}{2}} = s \]

Таким образом, радиус описанной окружности равен длине стороны правильного пятиугольника. Если сторона пятиугольника равна \(6 \sin(36^\circ)\), то и радиус описанной окружности тоже равен \(6 \sin(36^\circ)\).